K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

6 tháng 1 2021

Từ \(a+b\ge1=>b\ge1-a>0\) ta có:

A = \(\dfrac{8a^2+b}{4a}+b^2\ge\dfrac{8a^2+1-a}{4a}+\left(1-a\right)^2\)

=\(\dfrac{8a^2-a+1+4a^3-8a^2+4a}{4a}=\dfrac{4a^3-4a^2+a+4a^2-4a+1+6a}{4a}\)

\(\dfrac{a\left(2a-1\right)^2+\left(2a-1\right)^2}{4a}+\dfrac{3}{2}=\dfrac{\left(2a-1\right)^2\left(a+1\right)}{4a}+\dfrac{3}{2}\left(1\right)\)

Vì với a>0 thì\(\dfrac{\left(2a-1\right)^2\left(a+1\right)}{4a}\ge0\)

Dấu = xảy ra khi a=1/2

Nên từ (1) => A\(\ge0+\dfrac{3}{2}\) hay A\(\ge\dfrac{3}{2}\)

Vậy GTNN của A=3/2 khi a=b=1/2

 

6 tháng 1 2021

A = \(\dfrac{8a^2+b}{4a}+b^2\)

Ta có: a + b \(\ge\) 1 \(\Leftrightarrow\) b \(\ge\) 1 - a

\(\Rightarrow\) A \(\ge\) \(\dfrac{8a^2+1-a}{4a}+\left(1-a\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\) A \(\ge\) 2a + \(\dfrac{1}{4a}\) - \(\dfrac{1}{4}\) + 1 - 2a + a2

\(\Leftrightarrow\) A \(\ge\) a2 + \(\dfrac{1}{4a}\) + \(\dfrac{3}{4}\)

\(\Leftrightarrow\) A \(\ge\) a2 + \(\dfrac{1}{8a}\) + \(\dfrac{1}{8a}\) + \(\dfrac{3}{4}\)

Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số dương a2\(\dfrac{1}{8a}\)\(\dfrac{1}{8a}\)

a2 + \(\dfrac{1}{8a}\) + \(\dfrac{1}{8a}\) \(\ge\) 3\(\sqrt[3]{\dfrac{a^2}{64a^2}}\) = 3\(\sqrt[3]{64}\) = 3.4 = 12

\(\Leftrightarrow\) a2 + \(\dfrac{1}{8a}\) + \(\dfrac{1}{8a}\) + \(\dfrac{3}{4}\) \(\ge\) 12 + \(\dfrac{3}{4}\) = \(\dfrac{51}{4}\)

Hay A \(\ge\) a2 + \(\dfrac{1}{8a}\) + \(\dfrac{1}{8a}\) + \(\dfrac{3}{4}\) \(\ge\) \(\dfrac{51}{4}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\) a2 = \(\dfrac{1}{8a}\) \(\Leftrightarrow\) 8a3 = 1 \(\Leftrightarrow\) a\(\dfrac{1}{8}\) \(\Leftrightarrow\) a = \(\dfrac{1}{2}\)

và b = 1 - a \(\Leftrightarrow\) b = 1 - \(\dfrac{1}{2}\) = \(\dfrac{1}{2}\)

Vậy MinA = \(\dfrac{51}{4}\) \(\Leftrightarrow\) a = b = \(\dfrac{1}{2}\)

 Chúc bn học tốt! (ko chắc lắm đâu)

AH
Akai Haruma
Giáo viên
11 tháng 5 2020

Lời giải:
Vì $a+b\geq 1\Rightarrow b\geq 1-a; a\geq 1-b$. Do đó:

\(A\geq \frac{8a^2+1-a}{4a}+b^2=2a+\frac{1}{4a}-\frac{1}{4}+b^2\)

\(\geq a+1-b+\frac{1}{4a}-\frac{1}{4}+b^2=\left(a+\frac{1}{4a}\right)+(b^2-b+\frac{1}{4})+\frac{1}{2}\)

Áp dụng BĐT AM-GM: \(a+\frac{1}{4a}\geq 1\)

$b^2-b+\frac{1}{4}=(b-\frac{1}{2})^2\geq 0$

Do đó: $A\geq 1+0+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$

Vậy $A_{\min}=\frac{3}{2}$. Dấu "=" xảy ra khi $a=b=\frac{1}{2}$

24 tháng 12 2018

\(\frac{8a^2+b}{4a}+b^2=2a+\frac{b}{4a}+b^2=a+a+\frac{b}{4a}+b^2\)

\(\ge a+1-b+\frac{1-a}{4a}+b^2=a+1-b+\frac{1}{4a}-\frac{1}{4}+b^2\)(do \(a+b\ge1\))

\(=\left(a+\frac{1}{4a}\right)+b^2-b+\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\)

\(\ge2\sqrt{a\cdot\frac{1}{4a}}+\left(b-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{2}\)

\(\ge2\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\)

Dấu = khi \(a=b=\frac{1}{2}\)

NV
3 tháng 7 2020

\(A=2a+\frac{b}{4a}+b^2=a+a+\frac{b}{4a}+b^2\)

\(A\ge a+1-b+\frac{1-a}{4a}+b^2\)

\(A\ge a+\frac{1}{4a}+b^2-b=a+\frac{1}{4a}+\left(b-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{4}\)

\(A\ge a+\frac{1}{4a}-\frac{1}{4}\ge2\sqrt{\frac{a}{4a}}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}\)

\(A_{min}=\frac{1}{4}\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=\frac{1}{2}\\b=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

NV
16 tháng 3 2022

Ủa số thực âm hay không âm vậy em?

16 tháng 3 2022

dạ số thực không âm thầy

2 tháng 1 2021

3: \(P=\dfrac{x}{\left(x+y\right)+\left(x+z\right)}+\dfrac{y}{\left(y+z\right)+\left(y+x\right)}+\dfrac{z}{\left(z+x\right)+\left(z+y\right)}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{x}{x+y}+\dfrac{x}{x+z}\right)+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{y}{y+z}+\dfrac{y}{y+x}\right)+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{z}{z+x}+\dfrac{z}{z+y}\right)=\dfrac{3}{2}\).

Đẳng thức xảy ra khi x = y = x = \(\dfrac{1}{3}\).