Question

[Nguyen Uyen]

Cho hai số thực a,b thay đổi thỏa mãn 4^a+b-1-(1/2)^3a+b-2+5a+3b-4=0. Tìm GTNN của biểu thức P=a²+2ab+b²

Answer 1

[Đoàn Đức Hà]

\(4^{a+b-1}-\left(\frac{1}{2}\right)^{3a+b-2}+5a+3b-4=0\)

\(\Leftrightarrow2^{2a+2b-2}-2^{-3a-b+2}+5a+3b-4=0\)

\(\Leftrightarrow2^{2a+2b-2}+2b+2b-2=2^{-3a-b+2}-3a-b+2\)(1)

Xét hàm \(f\left(t\right)=2^t+t\)

\(f'\left(t\right)=2^t.ln\left(2\right)+1>0,\forall t\inℝ\)

suy ra \(f\left(t\right)\)đồng biến trên \(ℝ\).

(1) suy ra \(2a+2b-2=-3a-b+2\Leftrightarrow b=\frac{4-5a}{3}\)

\(P=a^2+2ab+b^2=\left(a+b\right)^2=\left(a+\frac{4-5a}{3}\right)^2\ge0\)

Dấu \(=\)khi \(a=2\).

Vậy \(minP=0\)khi \(a=2,b=-2\)