K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

2 tháng 10 2019

\(\sqrt{3b\left(a+2b\right)}\le\frac{3b+\left(a+2b\right)}{2}\)\(\sqrt{3a\left(b+2a\right)}\le\frac{3a+\left(b+2a\right)}{2}\)

=> M\(\le a\frac{a+5b}{2}+b\frac{5a+b}{2}\)=\(\frac{a^2+b^2+10ab}{2}\)\(\le\frac{6\left(a^2+b^2\right)}{2}\)( áp dụng 2ab\(\le a^2+b^2\))=3(a2+b2)\(\le\)6

dấu = khi a =b =1

26 tháng 10 2016

Áp dụng BĐT Cauchy ta có : \(2\ge a^2+b^2\ge2\sqrt{a^2b^2}=2ab\Rightarrow ab\le1\)

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki : 

\(\left(a\sqrt{3a\left(a+2b\right)}+b\sqrt{3b\left(b+2a\right)}\right)^2\le\left(a^2+b^2\right)\left[3\left(a^2+b^2\right)+12ab\right]\)

\(\le2\left(3.2+12.1\right)=36\)

\(\Rightarrow a\sqrt{3a\left(a+2b\right)}+b\sqrt{3b\left(b+2a\right)}\le6\)

Dấu "=" xảy ra khi a = b = 1

12 tháng 2 2019

ÁP DỤNG BĐT CÔ SI ,TA CÓ:

\(\sqrt{3a\left(a+2b\right)}\le\frac{3a+\left(a+2b\right)}{2}=2a+b\)\(\Leftrightarrow a\sqrt{3a\left(a+2b\right)}\le a\left(2a+b\right)=2a^2+ab\left(1\right)\) 

(VÌ a,b khong âm). C/M TƯƠNG TỰ TA CÓ \(b\sqrt{3b\left(b+2a\right)}\le2b^2+ab\left(2\right)\) 

TA CÓ  :\(2ab\le a^2+b^2\le2\left(3\right)\).TỪ (1),(2),(3)  TA CÓ;

\(a\sqrt{3a\left(a+2b\right)}+b\sqrt{3b\left(b+2a\right)}\le2a^2+2b^2+ab+ab\le\)\(2\left(a^2+b^2\right)+2ab\le4+2=6\) 

DẤU ĐẲNG THỨC XẢY RA KHI a=b=1

1 tháng 5 2020

Áp dụng BĐT Cô-si,ta có :

\(a\sqrt{3a\left(a+2b\right)}\le a.\frac{3a+a+2b}{2}=2a^2+ab\)

Tương tự : \(b\sqrt{3b\left(b+2a\right)}\le2b^2+ab\)

Cộng vế theo vế, ta được :

\(a\sqrt{3a\left(a+2b\right)}+b\sqrt{3b\left(b+2a\right)}\le2\left(a^2+b^2\right)+2ab=4+2ab\le4+a^2+b^2\le6\)

Dấu "=" xảy ra khi a = b = 1

1 tháng 5 2020

=3a+2b bằng số thỏa mãn

AH
Akai Haruma
Giáo viên
29 tháng 7 2018

Lời giải:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

\((a\sqrt{3a(a+2b)}+b\sqrt{3b(b+2a)})^2\leq (a^2+b^2)[3a(a+2b)+3b(b+2a)]\)

\((a\sqrt{3a(a+2b)}+b\sqrt{3b(b+2a)})^2\leq (a^2+b^2)(3a^2+3b^2+12ab)\)

Theo BĐT Cô-si: \(a^2+b^2\geq 2ab\Rightarrow 12ab\leq 6(a^2+b^2)\)

Do đó:

\((a\sqrt{3a(a+2b)}+b\sqrt{3b(b+2a)})^2\leq (a^2+b^2)(3a^2+3b^2+6a^2+6b^2)=9(a^2+b^2)^2\)

\(a^2+b^2\leq 2\)

\(\Rightarrow (a\sqrt{3a(a+2b)}+b\sqrt{3b(b+2a)})^2\leq 9.2^2=36\)

\(\Rightarrow a\sqrt{3a(a+2b)}+b\sqrt{3b(b+2a)}\leq \sqrt{36}=6\)

(đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=1$

1 tháng 6 2019

Ta có \(\sqrt{3b\left(a+2b\right)}\le\frac{1}{2}\left(3b+a+2b\right)=\frac{1}{2}\left(a+5b\right)\)

        \(\sqrt{3a\left(b+2a\right)}\le\frac{1}{2}\left(5a+b\right)\)

=> \(P\le\frac{1}{2}\left(a^2+b^2+10ab\right)\)

Mà \(ab\le\frac{1}{2}\left(a^2+b^2\right)\le\frac{1}{2}.2=1\)

=> \(P\le\frac{1}{2}\left(2+10\right)=6\)

Vậy MaxP=6 khi a=b=1

2 tháng 6 2019

Cảm ơn bạn Trần Phúc Khang ạ.

14 tháng 12 2019

có cả mấy bất đẳng thức đó hả

bn viết công thức tổng quát ra cho mk vs

mk thanks

AH
Akai Haruma
Giáo viên
15 tháng 3 2021

Lời giải:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

$C^2\leq (a+b)[(29a+3b)+(29b+3a)]=32(a+b)^2$

$(a+b)^2\leq (a^2+b^2)(1+1)\leq 4$

$\Rightarrow C^2\leq 32.4$

$\Rightarrow C\leq 8\sqrt{2}$
Vậy $C_{\max}=8\sqrt{2}$. Dấu "=" xảy ra khi $a=b=1$

ta có:

\(\left(b-c\right)^2\ge0\Leftrightarrow b^2+4bc+4c^2\le3b^2+6c^2\Leftrightarrow\left(b+2c\right)^2\le3b^2+6c^2\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(b+2c\right)^2}{3b^2+6c^2}\le1\Leftrightarrow\frac{b+2c}{\sqrt{3b^2+6c^2}}\le1\Leftrightarrow\frac{a\left(b+2c\right)}{\sqrt{3b^2+6c^2}}\le a\)

cmtt =>\(\frac{a\left(b+2c\right)}{\sqrt{3b^2+6c^2}}+\frac{b\left(c+2a\right)}{\sqrt{3c^2+6a^2}}+\frac{c\left(a+2b\right)}{\sqrt{3a^2+6b^2}}\le a+b+c\left(Q.E.D\right)\)

dấu = xảy ra khi a=b=c