Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
mình chỉ làm được câu a thôi:
a/b=b/c=>b^2=ac thay vào:
a^2+b^2/b^2+c^2=a^2+ac/ac+c^2=a*(a+c)/c*(a+c)=a/c
Bài 1:
Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=t\Rightarrow a=bt; c=dt\). Khi đó:
a)
\(\frac{a^2}{a^2+b^2}=\frac{(bt)^2}{(bt)^2+b^2}=\frac{b^2t^2}{b^2(t^2+1)}=\frac{t^2}{t^2+1}(1)\)
\(\frac{c^2}{c^2+d^2}=\frac{(dt)^2}{(dt)^2+d^2}=\frac{d^2t^2}{d^2(t^2+1)}=\frac{t^2}{t^2+1}(2)\)
Từ $(1);(2)$ suy ra đpcm.
b)
\(\left(\frac{a+c}{b+d}\right)^2=\left(\frac{bt+dt}{b+d}\right)^2=\left(\frac{t(b+d)}{b+d}\right)^2=t^2(3)\)
\(\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}=\frac{(bt)^2+(dt)^2}{b^2+d^2}=\frac{t^2(b^2+d^2)}{b^2+d^2}=t^2(4)\)
Từ $(3);(4)\Rightarrow \left(\frac{a+c}{b+d}\right)^2=\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}$ (đpcm)
Bài 2:
Từ $a^2=bc\Rightarrow \frac{a}{c}=\frac{b}{a}$
Đặt $\frac{a}{c}=\frac{b}{a}=t\Rightarrow a=ct; b=at$. Khi đó:
a)
$\frac{a^2+c^2}{b^2+a^2}=\frac{(ct)^2+c^2}{(at)^2+a^2}=\frac{c^2(t^2+1)}{a^2(t^2+1)}=\frac{c^2}{a^2}=(\frac{c}{a})^2=\frac{1}{t^2}(1)$
Và:
$\frac{c}{b}=\frac{a}{tb}=\frac{a}{t.at}=\frac{1}{t^2}(2)$
Từ $(1);(2)$ suy ra đpcm.
b)
$\left(\frac{c+2019a}{a+2019b}\right)^2=\left(\frac{c+2019a}{ct+2019at}\right)^2=\left(\frac{c+2019a}{t(c+2019a)}\right)^2=\frac{1}{t^2}(3)$
Từ $(2);(3)$ suy ra đpcm.
Ta có: \(\frac{a}{c}=\frac{c}{b}\Rightarrow c^2=ab\)
Thế vào ta được: \(\frac{a^2+c^2}{b^2+c^2}=\frac{a^2+ab}{b^2+ab}=\frac{a\left(a+b\right)}{b\left(a+b\right)}=\frac{a}{b}\left(đpcm\right)\)
\(\Rightarrow\)\(\frac{a}{c}\)=\(\frac{c}{b}\)\(\Rightarrow\) a.b = c.c
\(\Rightarrow\)\(\frac{a^2+c^2}{b^2+c^2}\)=\(\frac{a.a+a.b}{b.b+a.b}\)=\(\frac{a^2}{b^2}\)=\(\frac{a}{b}\)
tíck mình nka
\(\frac{a}{c}=\frac{c}{b}\)
\(\Rightarrow ab=c^2\)
\(\Rightarrow ab\left(b-a\right)=c^2\left(b-a\right)\)
\(\Rightarrow ab^2-ba^2=bc^2-ac^2\)
\(\Rightarrow ab^2+ac^2=bc^2+ba^2\)
\(\Rightarrow a\left(b^2+c^2\right)=b\left(a^2+c^2\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{a^2+c^2}{b^2+c^2}\)
Ta có: \(\frac{a}{c}=\frac{c}{b}\Rightarrow c^2=ab\)
\(\Rightarrow\frac{a^2+c^2}{b^2+c^2}=\frac{a^2+ab}{b^2+ab}=\frac{a\left(a+b\right)}{b\left(b+a\right)}=\frac{a}{b}\left(Đpcm\right)\)
Cách khác:
Đặt \(\dfrac{a}{c}=\dfrac{c}{b}=k\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=ck\\c=bk\end{matrix}\right.\)
Ta có:
\(\begin{array}{l} \dfrac{{{a^2} + {c^2}}}{{{b^2} + {c^2}}} = \dfrac{{{{\left( {ck} \right)}^2} + {{\left( {bk} \right)}^2}}}{{{b^2} + {{\left( {bk} \right)}^2}}} = \dfrac{{{k^2}\left( {{c^2} + {b^2}} \right)}}{{{b^2}\left( {{k^2} + 1} \right)}}\\ = \dfrac{{{k^2}\left[ {{{\left( {bk} \right)}^2} + {b^2}} \right]}}{{{b^2}\left( {{k^2} + 1} \right)}} = \dfrac{{{k^2}\left[ {{b^2}\left( {{k^2} + 1} \right)} \right]}}{{{b^2}\left( {{k^2} + 1} \right)}} = {k^2}\left( 1 \right)\\ \Rightarrow \dfrac{a}{b} = \dfrac{{ck}}{b} = \dfrac{{b.{k^2}}}{b} = {k^2}\left( 2 \right) \end{array}\)
Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: \(\dfrac{{{a^2} + {c^2}}}{{{b^2} + {c^2}}} = \dfrac{a}{b} \)
Ta có : \(\frac{a}{c}=\frac{c}{b}\Leftrightarrow ab=c^2\)
\(\Rightarrow\frac{b^2-a^2}{a^2+c^2}=\frac{\left(b-a\right)\left(b+a\right)}{a^2+ab}=\frac{\left(b-a\right)\left(a+b\right)}{a\left(a+b\right)}=\frac{b-a}{a}\)
(đpcm)
2. ....( đầu bài)
ta có:
\(\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}=>\frac{a+b}{c+d}=\frac{a-b}{c-d}\)
AD t/ c dãy tỉ số bằng nhau ta có:
.\(\frac{a+b}{c+d}=\frac{a-b}{c-d}=\frac{a+b+a-b}{c+d+c-d}=\frac{2a+\left(b-b\right)}{2c+\left(d-d\right)}=\frac{2a}{2c}=\frac{a}{c}\)(1)
. \(\frac{a+b}{c+d}=\frac{a-b}{c-d}=\frac{a+b+a-b}{c+d+c-d}=\frac{2b}{2d}=\frac{b}{d}\)(2)
Từ (1) và (2) => \(\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\)(đpcm)
ta có: \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}\Rightarrow\frac{a^2}{b^2}=\frac{a}{b}.\frac{b}{c}=\frac{a}{c}\) (1)
\(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}\Rightarrow\frac{a^2}{b^2}=\frac{b^2}{c^2}\)
áp dụng tính chất của dãy TSBN ta có:
\(\frac{a^2}{b^2}=\frac{b^2}{c^2}=\frac{a^2+b^2}{b^2+c^2}\) (2)
từ (1), (2) \(\Rightarrow\frac{a^2+b^2}{b^2+c^2}=\frac{a}{c}\) (vì cùng bằng \(\frac{a^2}{b^2}\))
Có: \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}\rightarrow\left(\frac{a}{b}\right)^2=\left(\frac{b}{c}\right)^2\rightarrow\frac{a^2}{b^2}=\frac{b^2}{c^2}=\frac{a^2+b^2}{b^2+c^2}\)(1)
\(\left(\frac{a}{b}\right)^2=\frac{a}{b}.\frac{b}{c}=\frac{a}{c}\)(2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\frac{a^2+b^2}{b^2+c^2}=\frac{a}{c}\)