Question

[Võ Tuấn Nguyên]

Cho đường tròn (O) đường kính AC và điểm B trên nửa đường tròn sao cho sđ cung BC =60°. Qua B kẻ dây BD vuông góc AC, qua D kẻ dây DF song song AC.
a, Tính số đo các cung CD, AB, FD
b, Tìm tiếp tuyến của (O) song song với AB

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Xét (O) có

ΔBAC nội tiếp

AC là đường kính

Do đó: ΔBAC vuông tại B

Xét (O) có

\(\widehat{BAC}\) là góc nội tiếp chắn cung BC

Do đó: \(\widehat{BAC}=\dfrac{1}{2}\cdot sđ\stackrel\frown{BC}=\dfrac{1}{2}\cdot60^0=30^0\)

Gọi H là giao điểm của BD với AC

BD\(\perp\)AC nên BD\(\perp\)AC tại H

ΔOBD cân tại O

mà OH là đường cao

nên H là trung điểm của BD

Xét ΔCBD có

CH là đường cao

CH là đường trung tuyến

Do đó: ΔCBD cân tại C

=>CB=CD

Xét ΔCOD và ΔCOB có

CD=CB

OD=OB

CO chung

Do đó: ΔCOD=ΔCOB

=>\(\widehat{COD}=\widehat{COB}\)

=>\(sđ\stackrel\frown{CB}=sđ\stackrel\frown{CD}=60^0\)

Xét ΔBAC vuông tại B có \(\widehat{BAC}+\widehat{BCA}=90^0\)

=>\(\widehat{BCA}+30^0=90^0\)

=>\(\widehat{BCA}=60^0\)

Xét (O) có

\(\widehat{BCA}\) là góc nội tiếp chắn cung AB

Do đó: \(\widehat{BCA}=\dfrac{1}{2}\cdot sđ\stackrel\frown{AB}\)

=>\(sđ\stackrel\frown{AB}=2\cdot\widehat{BCA}=120^0\)

DF//AC

DB\(\perp\)AC

Do đó: DF\(\perp\)DB

=>ΔDFB vuông tại D

ΔDFB vuông tại D

nên ΔDFB nội tiếp đường tròn đường kính BF

mà ΔDFB nội tiếp (O)

nên O là trung điểm của BF

=>OA//DF

=>\(\widehat{BFD}=\widehat{BOH}=\widehat{BOC}\)(hai góc đồng vị)

=>\(\widehat{BFD}=60^0\)

ΔBDF vuông tại D

=>\(\widehat{BFD}+\widehat{FBD}=90^0\)

=>\(\widehat{FBD}+60^0=90^0\)

=>\(\widehat{FBD}=30^0\)

Xét (O) có

\(\widehat{FBD}\) là góc nội tiếp chắn cung FD

Do đó: \(\widehat{FBD}=\dfrac{1}{2}\cdot sđ\stackrel\frown{FD}\)

=>\(sđ\stackrel\frown{FD}=2\cdot\widehat{FBD}=2\cdot\)30=60 độ