Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có f(0)=c chia hết cho 3
f(1)=a+b+c chia hết cho 3, mà c chia hết cho 3=> a+b chia hết cho 3.
f(-1)=a-b+c chia hết cho 3, c chia hết cho 3 => a-b chia hết cho 3.
Vì a,b,c nguyên nên a+b+a-b=2a chia hết cho 3. Do 2 và 3 nguyên tố cùng nhau => a phải chia hết cho 3.
a,c chia hết cho 3, a+b+c chia hết cho 3=> b chia hết cho 3
thay x = 0 vào f ta có:
f(0) = c mà đa thức tại x = 0 là số nguyên
=> c là số nguyên
thay x = 1 vào f ta có:
f(1) = a + b + c mà đa thức tại x = 1 là số nguyên và c là số nguyên
=> a + b là số nguyên
thay x = -1 vào f ta có:
f(-1) = a - b + mà đa thức tại x = -1 là số nguyên và c là số nguyên
=> a - b là số nguyên
ta có: a + b là số nguyên và a - b là số nguyên
=> (a+b) + (a-b) là số nguyên
=> 2a là số nguyên
Lời giải:
Đặt $2a=m, a+b=n$ với $m,n$ là số nguyên. Khi đó:
$a=\frac{m}{2}; b=n-\frac{m}{2}$.
Khi đó:
$f(x)=\frac{m}{2}x^2+(n-\frac{m}{2})x+c$ với $m,n,c$ là số nguyên.
$f(x)=\frac{m}{2}(x^2-x)+nx+c=\frac{m}{2}x(x-1)+nx+c$
Với $x$ nguyên thì $x(x-1)$ là tích 2 số nguyên liên tiếp nên:
$x(x-1)\vdots 2$
$\Rightarrow \frac{m}{2}x(x-1)\in\mathbb{Z}$
Mà: $nx\in\mathbb{Z}, c\in\mathbb{Z}$ với $x,m,n,c\in\mathbb{Z}$
$\Rightarrow f(x)\in\mathbb{Z}$
Ta có đpcm.