K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

HQ
Hà Quang Minh
Giáo viên
21 tháng 9 2023

a) \({u_2} = {u_1} + d\)

\({u_3} = {u_1} + 2d\)

\({u_{n - 1}} = {u_1} + \left( {n - 2} \right)d\)

\({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\)

\({S_n} = {u_1} + {u_1} + 2d +  \ldots  + {u_1} + \left( {n - 2} \right)d + {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\)

b) \({S_n} = {u_n} + {u_{n - 1}} +  \ldots  + {u_2} + {u_1} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d + {u_1} + \left( {n - 2} \right)d +  \ldots  + {u_1} + d + {u_1}\)

c) \(2{S_n} = \left( {{u_1} + {u_1} + d +  \ldots  + {u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right) + \left( {{u_1} + \left( {n - 1} \right)d + {u_1} + \left( {n - 2} \right)d +  \ldots  + {u_1}} \right)\).

\( \Rightarrow 2{S_n} = n.\left( {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right)\)

\( \Rightarrow {S_n} = \frac{n}{2}\left( {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right)\)

HQ
Hà Quang Minh
Giáo viên
21 tháng 9 2023

a) \({u_2} = {u_1}.q\)

\({u_3} = {u_1}.{q^2}\)

\({u_{n - 1}} = {u_1}.{q^{n - 2}}\)

\({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}}\)

\({S_n} = {u_1} + {u_1}q +  \ldots  + {u_1}{q^{n - 2}} + {u_1}{q^{n - 1}}\)

b) \(q{S_n} = q{u_1} + {u_1}{q^2} +  \ldots  + {u_1}{q^{n - 1}} + {u_1}{q^n}\)

c) \({S_n} - q{S_n} = \left( {{u_1} + {u_1}q +  \ldots  + {u_1}{q^{n - 2}} + {u_1}{q^{n - 1}}} \right) - (q{u_1} + {u_1}{q^2} +  \ldots  + {u_1}{q^{n - 1}} + {u_1}{q^n})\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {1 - q} \right){S_n} = {u_1} - {u_1}{q^n} = {u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)\\ \Rightarrow {S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}}\end{array}\)

HQ
Hà Quang Minh
Giáo viên
21 tháng 9 2023

a)    Ta có:

\(\left. \begin{array}{l}{u_1} + {u_n} = {u_1} + {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = 2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d\\{u_2} + {u_{n - 1}} = {u_1} + d + \left( {n - 2} \right)d = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\\{u_n} + {u_1} = {u_1} + {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = 2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d\end{array} \right\} \Rightarrow {u_1} + {u_n} = {u_2} + {u_{n - 1}} = ... = {u_n} + {u_1}\)

b)    Dựa vào công thức vừa chứng minh ta có: \(n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)\) = \(2{S_n}\)

HQ
Hà Quang Minh
Giáo viên
21 tháng 9 2023

a)    Ta có:

\({S_n}.q = \left( {{u_1} + {u_1}q + {u_1}{q^2} + ... + {u_1}{q^{n - 1}}} \right).q = {u_1}\left( {1 + q + {q^2} + ... + {q^{n - 1}}} \right).q = {u_1}\left( {q + {q^2} + {q^3} + ... + {q^n}} \right)\)

\(\begin{array}{l}{S_n} - {S_n}.q = {u_1} + {u_1}q + {u_1}{q^2} + ... + {u_1}{q^{n - 1}} - {u_1}\left( {q + {q^2} + {q^3} + ... + {q^n}} \right)\\ = {u_1}\left( {1 + q + {q^2} + ... + {q^{n - 1}}} \right) - {u_1}\left( {q + {q^2} + {q^3} + ... + {q^n}} \right)\\ = {u_1}\left( {1 + q + {q^2} + ... + {q^{n - 1}} - \left( {q + {q^2} + {q^3} + ... + {q^n}} \right)} \right)\\ = {u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)\end{array}\)

b)    Ta có: \({S_n} - {S_n}.q = {u_1}\left( {1 - {q^n}} \right) \Leftrightarrow {S_n}\left( {1 - q} \right) = {u_1}\left( {1 - {q^n}} \right) \Leftrightarrow {S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{\left( {1 - q} \right)}}\)

HQ
Hà Quang Minh
Giáo viên
21 tháng 9 2023

a) Ta có: \({u_2} = {u_1} + d\)

\({u_3} = {u_2} + d = {u_1} + 2d\)

\({u_4} = {u_3} + d = {u_1} + 3d\)

\({u_5} = {u_4} + d = {u_1} + 4d\)

b) Công thức tính số hạng tổng quát \({u_n}\):

\({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\).

QT
Quoc Tran Anh Le
Giáo viên
22 tháng 9 2023

a) Ta có:

\(q.{S_n} = q.\left( {{u_1} + {u_2} + ... + {u_n}} \right) = {u_1}.q + {u_2}.q + ... + {u_n}.q = \left( {{u_2} + {u_3} + ... + {u_n}} \right) + q.{u_n}\)

b) Ta có:

\({u_1} + q.{S_n} = {u_1} + \left( {{u_2} + {u_3} + ... + {u_n}} \right) + q.{u_n} = \left( {{u_1} + {u_2} + {u_3} + ... + {u_n}} \right) + q.{u_n} = {S_n} + {u_1}.{q^n}\)

HQ
Hà Quang Minh
Giáo viên
25 tháng 8 2023

\(a,u_1+u_n=u_1+\left[u_1+\left(n-1\right)d\right]=u_1+u_1+\left(n-1\right)d=2u_1+\left(n-1\right)d\\ u_2+u_{n-1}=\left[u_1+d\right]+\left[u_1+\left(n-2\right)d\right]=2u_1+\left(n-1\right)d\\ ...\\ u_k+u_{n-k+1}=\left[u_1+\left(k-1\right)d\right]+\left[u_1+\left(n-k+1-1\right)d\right]=2u_1+\left(n-1\right)d\)

\(b,u_1+u_n=2u_1+\left(n-1\right)d\\ u_2+u_{n-1}=2u_1+\left(n-1\right)d\\ ...\\ u_n+u_1=2u_1+\left(n-1\right)d\)

Cộng vế với vế, ta được:

\(2\left(u_1+u_2+...+u_n\right)=n\left[2u_1+\left(n-1\right)d\right]\\ \Leftrightarrow2\left(u_1+u_2+...+u_n\right)=n\left(u_1+u_n\right)\)

21 tháng 9 2023

\(a,u_1;u_2=u_1+d;u_3=u_1+2d;u_4=u_1+3d;u_5=u_1+4d\\ b,u_n=u_1+\left(n-1\right)d\)

HQ
Hà Quang Minh
Giáo viên
21 tháng 9 2023

a) \({u_2} = {u_1}.q\)

\({u_3} = {u_2}.q = {u_1}.{q^2}\)

\({u_4} = {u_3}.q = {u_1}.{q^3}\)

\({u_5} = {u_4}.q = {u_1}.{q^4}\)

b) Từ a suy ra: \({u_n} = {u_1} \times {q^{n - 1}}\).

HQ
Hà Quang Minh
Giáo viên
22 tháng 9 2023

a) \(\left| q \right| = \left| {\frac{1}{2}} \right| < 1\)

b) \(\begin{array}{l}{S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} = {u_1}.\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}} = 1.\frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}}}{{1 - \frac{1}{2}}} = 2 - 2.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^n}\\ \Rightarrow \lim {S_n} = \lim \left[ {2 - 2.{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}} \right] = \lim 2 - 2\lim {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n} = 2\end{array}\)