K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

NV
16 tháng 3 2019

\(a^{2013}+b^{2013}=a^{2012}+b^{2012}\Rightarrow a^{2012}\left(a-1\right)+b^{2012}\left(b-1\right)=0\) (1)

\(a^{2014}+b^{2014}=a^{2013}+b^{2013}\Rightarrow a^{2013}\left(a-1\right)+b^{2013}\left(b-1\right)=0\) (2)

Trừ vế cho vế của (2) cho (1):

\(\left(a-1\right)\left(a^{2013}-a^{2012}\right)+\left(b-1\right)\left(b^{2013}-b^{2012}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow a^{2012}\left(a-1\right)^2+b^{2012}\left(b-1\right)^2=0\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^{2012}\left(a-1\right)^2=0\\b^{2012}\left(b-1\right)^2=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-1=0\\b-1=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a=b=1\) (do \(a;b>0\))

\(\Rightarrow P=1+1=2\)

16 tháng 3 2019

Nguyễn Việt Lâm

14 tháng 7 2015

Đề \(\Rightarrow a^{2014}+b^{2014}-2\left(a^{2013}+b^{2013}\right)+a^{2012}+b^{2012}=0\)

\(\Leftrightarrow a^{2012}\left(a^2-2a+1\right)+b^{2012}\left(b^2-2b+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow a^{2012}\left(a-1\right)^2+b^{2012}\left(b-1\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a=0\text{ hoặc }a=1\right)\text{ và }\left(b=0\text{ hoặc }b=1\right)\)

\(+a=0\text{ hoặc }a=1\text{ thì }a^{2014}=a^{2010}\)

\(+b=0\text{ hoặc }b=1\text{ thì }b^{2014}=b^{2010}\)

Suy ra \(a^{2014}+b^{2014}=a^{2010}+b^{2010}\)

11 tháng 8 2016

Từ giả thiết suy ra : \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)+\left(\frac{1}{c}-\frac{1}{a+b+c}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}+\frac{a+b+c-c}{c\left(a+b+c\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{c^2+ac+bc}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left[\frac{c^2+ac+bc+ab}{ab\left(c^2+ac+bc\right)}\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{ab\left(c^2+bc+ac\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0\)

\(\Rightarrow a+b=0\) hoặc \(b+c=0\) hoặc \(a+c=0\)

Nếu a + b = 0 thì c = 2014 thay vào M : 

\(M=\frac{1}{a^{2013}}+\frac{1}{b^{2013}}+\frac{1}{c^{2013}}=\frac{a^{2013}+b^{2013}}{\left(ab\right)^{2013}}+\frac{1}{c^{2013}}=\frac{\left(a+b\right).A}{\left(ab\right)^{2013}}+\frac{1}{c^{2013}}\)

\(=\frac{1}{c^{2013}}=\frac{1}{2014^{2013}}\) (A là một nhân tử trong phân tích a2013 + b2013 thành nhân tử)

Tương tự với các trường hợp còn lại.

Vậy \(M=\frac{1}{2014^{2013}}\) 

17 tháng 3 2020

Câu hỏi của Hà Văn Minh Hiếu - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

11 tháng 9 2020

Ta có : \(a+b+c=6\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2=36\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2.\left(ab+bc+ca\right)=36\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2=36-2.12=12\)

Do đó : \(a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca\left(=12\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)

Khi đó biểu thức :

\(\left(a-b\right)^{2012}+\left(b-c\right)^{2013}+\left(c-a\right)^{2014}=0+0+0=0\)

17 tháng 3 2020

Ta có: \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\)

\(=2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac\)

\(=2\left(a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\right)-6ab-6bc-6ac\)

\(=2\left(a+b+c\right)^2-6\left(ab+bc+ac\right)\)

\(=2.6^2-6.12=0\)

Mà : \(\left(a-b\right)^2\ge0;\left(b-c\right)^2\ge0;\left(a-c\right)^2\ge0\)

nên \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)

Do đó: \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)

<=> \(\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)^2=0\\\left(a-c\right)^2=0\\\left(c-a\right)^2=0\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=c\)

Vậy \(\left(a-b\right)^{2012}+\left(b-c\right)^{2013}+\left(c-a\right)^{2014}=0\)

15 tháng 8 2021

\(C=\dfrac{2014\left(2015^2+2016\right)-2016\left(2015^2-2014\right)}{2014\left(2013^2-2012\right)-2012\left(2013^2+2014\right)}\)

\(=\dfrac{2.2014.2016+2014.2015^2-2016.2015^2}{2014.2013^2-2012.2013^2-2.2012.2014}\)

\(=\dfrac{2.\left(2015+1\right)\left(2015-1\right)-2.2015^2}{2.2013^2-2.\left(2013+1\right)\left(2013-1\right)}\)

\(=\dfrac{2.\left(2015^2-1\right)-2.2015^2}{2.2013^2-2.\left(2013^2-1\right)}=\dfrac{-2}{2}=-1\)

b: \(=\dfrac{2014\cdot2015^2+2014\cdot2016-2016\cdot2015^2+2016\cdot2014}{2014\cdot2013^2-2014\cdot2012-2012\cdot2013^2-2012\cdot2014}\)

\(=\dfrac{2015^2\cdot\left(-2\right)+2\cdot\left(2015^2-1\right)}{2013^2\cdot\left(-2\right)-2\cdot\left(2013^2-1\right)}\)

\(=\dfrac{\left(-2\right)\cdot\left(2015^2-2015^2+1\right)}{\left(-2\right)\cdot\left(2013^2+2013^2-1\right)}=\dfrac{1}{2\cdot2013^2}\)

AH
Akai Haruma
Giáo viên
9 tháng 7 2018

Lời giải:

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(a^{2014}+\underbrace{1+1+....+1}_{1006}\geq 1007\sqrt[1007]{a^{2014}}=1007a^2\)

\(\Leftrightarrow a^{2014}+1006\geq 1007a^2\)

\(\Rightarrow a^{2014}+2013\geq 1007(a^2+1)\)

\(\Rightarrow \frac{a^{2014}+2013}{b^2+1}\geq \frac{1007(a^2+1)}{b^2+1}\). Hoàn toàn TT với các phân thức còn lại và cộng theo vế:

\(A\geq 1007\left(\frac{a^2+1}{b^2+1}+\frac{b^2+1}{c^2+1}+\frac{c^2+1}{a^2+1}\right)\)

\(\geq 1007.3\sqrt[3]{\frac{(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)}{(b^2+1)(c^2+1)(a^2+1)}}=3021\) (theo AM-GM)

Vậy \(A_{\min}=3021\Leftrightarrow a=b=c=1\)

19 tháng 11 2018

Ta có:

\(a^{2010}+b^{2010}+a^{2012}+b^{2012}\)

\(=\left(a^{2010}+a^{2012}\right)+\left(b^{2010}+b^{2012}\right)\ge2a^{2011}+2b^{2011}\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(\hept{\begin{cases}a^{2010}=a^{2012}\\b^{2010}=b^{2012}\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=1\\b=1\end{cases}}\)

\(\Rightarrow a^{2013}+b^{2013}=2\)

Vậy \(S=2\)

21 tháng 11 2018

thank ban nha