Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài này dễ ẹc, cho tí não vào là ok
Giải
Dự đoán dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\) khi đó ta tìm dc \(S=2\)
Ta sẽ chứng minh nó là GTNN của \(S\)
Thật vậy, theo BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(Σ\frac{a^2+b}{b+c}\ge\frac{\left(Σa^2+1\right)^2}{Σa^2\left(b+c\right)+Σa^2+Σab}\)
Vậy ta chỉ cần chứng minh rằng \(\frac{\left(Σa^2+1\right)^2}{Σa^2\left(b+c\right)+Σa^2+Σab}\ge2\)
\(\Leftrightarrow1+\left(Σa^2\right)^2\ge2Σa^2\left(b+c\right)+2Σab\)
BĐT cuối cùng có thể biến đổi như sau:
\(1+\left(Σa^2\right)^2\ge2Σa^2\left(b+c\right)+2Σab\)
\(\Leftrightarrow1+\left(Σa^2\right)^2\ge2Σa^2-2Σa^3+2Σab\)
\(\Leftrightarrow\left(Σa^2\right)^2+2Σa^3\geΣa^2\) điều này đúng, vì
\(Σa^3\ge\frac{Σa^2}{3}\)(BĐT Chebyshev). Và \(\left(Σa^2\right)^2\ge\frac{Σa^2}{3}\)
ÁP dụng BĐT bunhia có:
\(\left(a+b+c\right)^2\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Rightarrow\left(7-x\right)^2\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)\) \(\Leftrightarrow-\dfrac{\left(7-x\right)^2}{3}\ge-\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
Pt (2)\(\Leftrightarrow\)\(x^2=13-\left(a^2+b^2+c^2\right)\le13-\dfrac{\left(7-x\right)^2}{3}\)
\(\Leftrightarrow3x^2\le39-\left(7-x\right)^2\)
\(\Leftrightarrow4x^2-14x+10\le0\) \(\Leftrightarrow1\le x\le\dfrac{5}{2}\)
=>xmin=1 \(\Leftrightarrow\)a=b=c=2
xmax=\(\dfrac{5}{2}\)\(\Leftrightarrow\) a=b=c=\(\dfrac{3}{2}\)
Ta có: \(\frac{a^4}{c}+\frac{b^4}{d}\ge\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{c+d}=\frac{1}{c+d}\)
Dấu = xảy ra khi \(\frac{a^2}{c}=\frac{b^2}{d}\)
Do đó: \(VT=\frac{a^2}{c}+\frac{b}{d^2}=\frac{d^2}{b}+\frac{b}{d^2}\ge2\sqrt{\frac{d^2}{b}.\frac{b}{d^2}}=2\)
Áp dụng bất đăng thức Holder, ta có
\(\Sigma_{cyc} a \sqrt[3]{b^2+c^2} = \Sigma_{cyc} \sqrt[3]{a.a^2.(b^2+c^2)} \le \sqrt[3]{( \Sigma_{cyc} a).(\Sigma_{cyc} a^2).[\Sigma_{cyc} (b^2+c^2)} \le \sqrt[3]{\sqrt{3\Sigma_{cyc} a^2}.(\Sigma_{cyc} a^2).(2\Sigma_{cyc} a^2}) \le 12\)
c) Có \(P=\frac{ax+b}{x^2+1}=-1+\frac{x^2+ax+b+1}{x^2+1}\);
\(P=\frac{ax+b}{x^2+1}=4-\frac{4x^2-ax-b+4}{x^2+1}\)
Để Min P = 1 và Max P = 4 thì
\(\hept{\begin{cases}x^2+ax+b+1=\left(x+c\right)^2\\4x^2-ax-b+4=\left(2x+d\right)^2\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\left(a-2c\right)+\left(b+1-c^2\right)=0\left(1\right)\\x\left(-a-4d\right)+\left(-b+4-d^2\right)=0\left(2\right)\end{cases}}\)
(1) = 0 khi \(\hept{\begin{cases}a=2c\\b=c^2-1\end{cases}}\)(3)
(2) = 0 khi \(\hept{\begin{cases}a=-4d\\b=4-d^2\end{cases}}\)(4)
Từ (3) (4) => d = 1 ; c = -2 ; b = 3 ; a = -4
Vậy \(P=\frac{-4x+3}{x^2+1}\)
ĐK \(x\ge y\)
Đặt \(\sqrt{x+y}=a;\sqrt{x-y}=b\left(a;b\ge0\right)\)
HPT <=> \(\hept{\begin{cases}a^4+b^4=82\\a-2b=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(2b+1\right)^4+b^4=82\\a=2b+1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}17b^4+32b^3+24b^2+8b-81=0\\a=2b+1\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}17b^4-17b^3+49^3-49b^2+73b^2-73b+81b-81=0\\a=2b+1\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(b-1\right)\left(17b^3+49b^2+73b+81\right)=0\left(1\right)\\a=2b+1\end{cases}}\)
Giải (1) ; kết hợp điều kiện => b = 1
=> Hệ lúc đó trở thành \(\hept{\begin{cases}b=1\\a=2b+1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}b=1\\a=3\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x+y}=3\\\sqrt{x-y}=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=9\\x-y=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2x=10\\x-y=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=5\\x-y=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=5\\y=4\end{cases}}\)
Vậy hệ có 1 nghiệm duy nhất (x;y) = (5;4)
http://imgur.com/O0UaOOL
Đã giải tại .
\(\left(7-d\right)^2=\left(a+b+c\right)^2\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)=3\left(13-d^2\right)\)
=>\(4d^2-14d+10\le0\)
=>\(\left(d-1\right)\left(4d-10\right)\le0\)
=>\(1\le d\le\frac{5}{2}\).Làm tương tự đối với a,b,c