K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

AH
Akai Haruma
Giáo viên
7 tháng 2 2020

Lời giải:

Đặt biểu thức đã cho là $P$

Do $a+b+c=6$ nên:

$P=\frac{ab}{2a+b}+\frac{bc}{2b+c}+\frac{ca}{2c+a}$

$2P=\frac{2ab}{2a+b}+\frac{2bc}{2b+c}+\frac{2ca}{2c+a}$

$=b-\frac{b^2}{2a+b}+c-\frac{c^2}{2b+c}+a-\frac{a^2}{2c+a}$

$=a+b+c-\left(\frac{b^2}{2a+b}+\frac{c^2}{2b+c}+\frac{a^2}{2c+a}\right)$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

$\left(\frac{b^2}{2a+b}+\frac{c^2}{2b+c}+\frac{a^2}{2c+a}\right)\geq \frac{(b+c+a)^2}{2a+b+2b+c+2c+a}=\frac{a+b+c}{3}$

Do đó: $2P\leq a+b+c-\frac{a+b+c}{3}=\frac{2}{3}(a+b+c)=\frac{2}{3}.6=4$

$\Rightarrow P\leq 2$ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=2$

AH
Akai Haruma
Giáo viên
2 tháng 2 2020

Lời giải:

Đặt biểu thức đã cho là $P$

Do $a+b+c=6$ nên:

$P=\frac{ab}{2a+b}+\frac{bc}{2b+c}+\frac{ca}{2c+a}$

$2P=\frac{2ab}{2a+b}+\frac{2bc}{2b+c}+\frac{2ca}{2c+a}$

$=b-\frac{b^2}{2a+b}+c-\frac{c^2}{2b+c}+a-\frac{a^2}{2c+a}$

$=a+b+c-\left(\frac{b^2}{2a+b}+\frac{c^2}{2b+c}+\frac{a^2}{2c+a}\right)$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

$\left(\frac{b^2}{2a+b}+\frac{c^2}{2b+c}+\frac{a^2}{2c+a}\right)\geq \frac{(b+c+a)^2}{2a+b+2b+c+2c+a}=\frac{a+b+c}{3}$

Do đó: $2P\leq a+b+c-\frac{a+b+c}{3}=\frac{2}{3}(a+b+c)=\frac{2}{3}.6=4$

$\Rightarrow P\leq 2$ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=2$

1 tháng 6 2017

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(\frac{ab}{6+a-c}=\frac{ab}{a+b+c+a-c}=\frac{ab}{2a+b}\)

\(=\frac{ab}{a+a+b}\le\frac{1}{9}\left(\frac{ab}{a}+\frac{ab}{a}+\frac{ab}{b}\right)=\frac{1}{9}\left(2b+a\right)\)

Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:

\(\frac{bc}{6+b-a}\le\frac{1}{9}\left(2c+b\right);\frac{ca}{6+c-b}\le\frac{1}{9}\left(2a+c\right)\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:

\(VT\le\frac{1}{9}\cdot3\left(a+b+c\right)=\frac{1}{3}\cdot\left(a+b+c\right)=\frac{6}{3}=2\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=2\)

26 tháng 1 2021

\(a+b+c=7\Rightarrow a+b+c-1=6\)

Ta có:\(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Leftrightarrow49=23+2\left(ab+bc+ca\right)\Leftrightarrow ab+bc+ca=13\)

Lại có \(ab+c-6=ab+c-\left(a+b+c-1\right)=ab-a-b+1=\left(a-1\right)\left(b-1\right)\)

Tương tự \(bc+a-6=\left(b-1\right)\left(c-1\right)\)

                \(ca+b-6=\left(c-1\right)\left(a-1\right)\)

\(\Rightarrow A=\frac{1}{\left(a-1\right)\left(b-1\right)}+\frac{1}{\left(b-1\right)\left(c-1\right)}+\frac{1}{\left(c-1\right)\left(a-1\right)}\)

            \(=\frac{c-1+a-1+b-1}{\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)}=\frac{a+b+c-3}{abc-\left(ab+ac+bc\right)+\left(a+b+c\right)-1}\)

             \(=\frac{7-3}{3-13+7-1}=-1\)

9 tháng 6 2017

sr tui ko có câu hỏi tương tự tui chỉ có câu hỏi y hệt thôi Xem câu hỏi

4 tháng 5 2019

\(\frac{ab}{6+a-c}=\frac{ab}{a+b+c+a-c}=\frac{ab}{2a+b}\)

Áp dụng BĐT Cauchy-schwarz ta có:

\(\frac{ab}{2a+b}\le\frac{ab}{9}.\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=\frac{2b+a}{9}\)

Chứng minh tương tự ta có:

\(\frac{bc}{2b+c}\le\frac{bc}{9}.\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\frac{2c+b}{9}\)

\(\frac{ca}{2c+a}\le\frac{ac}{9}.\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)=\frac{2a+c}{9}\)

Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c

Cộng vế với vế của 3 BĐT trên ta có:

\(\frac{ab}{6+a-c}+\frac{bc}{6+b-a}+\frac{ac}{6+c-b}\)

\(=\frac{ab}{2a+b}+\frac{bc}{2b+c}+\frac{ca}{2c+a}\le\frac{3\left(a+b+c\right)}{9}=\frac{6}{3}=2\)

Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c=2

NV
22 tháng 2 2021

\(P=\dfrac{ab}{a+b}+\dfrac{bc}{b+c}+\dfrac{ca}{c+a}\)

\(P\le\dfrac{ab}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)+\dfrac{bc}{4}\left(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)+\dfrac{ca}{4}\left(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\right)\)

\(\Leftrightarrow P\le\dfrac{1}{2}\left(a+b+c\right)=3\)

\(P_{max}=3\) khi \(a=b=c\)

19 tháng 9 2016

thtfgfgfghggggggggggggggggggggg

15 tháng 1 2021

hoc24.vn

Khác số chút thoyy.

15 tháng 1 2021

Cảm ơn bạn nhiều !