Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a: =(x^2+3x)(x^2+3x+2)+1
=(x^2+3x)^2+2(x^2+3x)+1
=(x^2+3x+1)^2>=0 với mọi x
b: (a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)-(ax+by+cz)^2
=a^2x^2+a^2y^2+a^2z^2+b^2x^2+b^2y^2+b^2z^2+c^2x^2+c^2y^2+c^2z^2-a^2x^2-b^2y^2-c^2z^2-2axby-2axcz-2bycz
=(a^2y^2-2axby+b^2x^2)+(a^2z^2-2azcx+c^2x^2)+(b^2z^2-2bzcy+c^2y^2)
=(ay-bx)^2+(az-cx)^2+(bz-cy)^2>=0(luôn đúng)
a) Ta có:
\(x^2-x+1\)
\(=x^2-2\cdot\dfrac{1}{2}\cdot x+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}\)
\(=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\)
Mà: \(\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2\ge0\) và \(\dfrac{3}{4}>0\) nên
\(\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}>0\forall x\)
\(\Rightarrow x^2-x+1>0\forall x\)
\(\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}=1-\frac{1}{x+1}+1-\frac{1}{y+1}+1-\frac{1}{z+1}=3-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\)
vì \(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}>=\frac{9}{x+1+y+1+z+1}=\frac{9}{1+3}=\frac{9}{4}\)(bđt svacxo)
\(\Rightarrow3-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)< =3-\frac{9}{4}=\frac{3}{4}\)
dấu = xảy ra khi x=y=z=\(\frac{1}{3}\)
Có : x^2+y^2+z^2+4x-2y-4z+10
= (x^2+4x+4)+(y^2-2y+1)+(z^2-4x+4)+1
= (x+2)^2+(y-1)^2+(z-2)^2+1 >= 1
=> (x+2)^2+(y-1)^2+(z-2)^2 luôn dương với mọi x,y,z
\(x^2+y^2+z^2+4x-2y-4z+10\)
\(=\left(x^2+4x+4\right)+\left(y^2-2y+1\right)+\left(z^2-4z+4\right)+1\)
\(=\left(x+2\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z-2\right)^2+1\)
Vì \(\hept{\begin{cases}\left(x+2\right)^2\ge0\\\left(y-1\right)^2\ge0\\\left(z-2\right)^2\ge0\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\)\(\left(x+2\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z-2\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow\)\(\left(x+2\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z-2\right)^2+1>0\)
\(\Rightarrow\)\(đpcm\)
