Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(1,\)
\(a,\) Với \(n=1\Leftrightarrow5+2\cdot1+1=8⋮8\left(đúng\right)\)
Giả sử \(n=k\left(k\ge1\right)\Leftrightarrow5^k+2\cdot3^{k-1}+1⋮8\)
Với \(n=k+1\)
\(5^n+2\cdot3^{n-1}+1=5^{k+1}+2\cdot3^k+1\\ =5^k\cdot5+2\cdot3^k+1\\ =5^k\cdot2+2\cdot3^k+5^k\cdot3+1\\ =2\left(5^k+3^k\right)+5^k+2\cdot5^{k-1}+1+2\cdot3^{k-1}-2\cdot3^{k-1}\\ =2\left(5^k+3^k\right)+\left(5^k+2\cdot3^{k-1}+1\right)-2\left(3^{k-1}+5^{k-1}\right)\)
Vì \(5^k+3^k⋮\left(5+3\right)=8;5^{k-1}+3^{k-1}⋮\left(5+3\right)=8;5^k+2\cdot3^{k-1}+1⋮8\) nên \(5^{k+1}+2\cdot3^k+1⋮8\)
Theo pp quy nạp ta được đpcm
\(b,\) Với \(n=1\Leftrightarrow3^3+4^3=91⋮13\left(đúng\right)\)
Giả sử \(n=k\left(k\ge1\right)\Leftrightarrow3^{k+2}+4^{2k+1}⋮13\)
Với \(n=k+1\)
\(3^{n+2}+4^{2n+1}=3^{k+3}+4^{2k+3}\\ =3^{k+2}\cdot3+16\cdot4^{2k+1}\\ =3^{k+2}\cdot3+3\cdot4^{2k+1}+13\cdot4^{2k+1}\\ =3\left(3^{k+2}+4^{2k+1}\right)+13\cdot4^{2k+1}\)
Vì \(3^{k+2}+4^{2k+1}⋮13;13\cdot4^{2k+1}⋮13\) nên \(3^{k+3}+4^{2k+3}⋮13\)
Theo pp quy nạp ta được đpcm
\(1,\)
\(c,C=6^{2n}+3^{n+2}+3^n\\ C=36^n+3^n\cdot9+3^n\\ C=\left(36^n-3^n\right)+\left(3^n\cdot9+2\cdot3^n\right)\\ C=\left(36^n-3^n\right)+3^n\cdot11\)
Vì \(36^n-3^n⋮\left(36-3\right)=33⋮11;3^n\cdot11⋮11\) nên \(C⋮11\)
\(d,D=1^n+2^n+5^n+8^n\)
Vì \(1^n+2^n+5^n⋮\left(1+2+5\right)=8;8^n⋮8\) nên \(D⋮8\)
\(C=\dfrac{A}{B}=\dfrac{n^3+2n^2-3n+2}{n^2-n}=\dfrac{\left(n^3-n^2\right)+3n^2-3n+2}{n^2-n}=\dfrac{n\left(n^2-n\right)+3\left(n^2-n\right)+2}{n^2-n}\)\(C=n+3+\dfrac{2}{n^2-n}\)
\(n,C\in Z\Rightarrow\dfrac{2}{n^2-n}\in Z\Rightarrow n^2-n=\left\{-2;-1;1;2\right\}\)
n^2 -n là hai số chẵn
\(\left[{}\begin{matrix}n^2-n=-2\\n^2-n=2\end{matrix}\right.\)
\(\left[{}\begin{matrix}n^2-n=-2\left(vn\right)\\n^2-n=2\left[{}\begin{matrix}n_1=-1\\n_2=2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
\(4=2a^2+\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{b^2}{4}=\left(a^2+\dfrac{1}{a^2}-2\right)+\left(a^2+\dfrac{b^2}{4}+ab\right)-ab+2\)
\(\Rightarrow4=\left(a-\dfrac{1}{a}\right)^2+\left(a+\dfrac{b}{2}\right)^2-ab+2\)
\(\Rightarrow ab=\left(a-\dfrac{1}{a}\right)^2+\left(a+\dfrac{b}{2}\right)^2-2\ge-2\)
\(M_{min}=-2\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}a-\dfrac{1}{a}=0\\a+\dfrac{b}{2}=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(a;b\right)=\left(1;-2\right);\left(-1;2\right)\)
Câu 1:
a: Để M là số nguyên thì \(2x^3-6x^2+x-3-5⋮x-3\)
\(\Leftrightarrow x-3\in\left\{1;-1;5;-5\right\}\)
hay \(x\in\left\{4;2;8;-2\right\}\)
b: Để N là số nguyên thì \(3x^2+2x-3x-2+5⋮3x+2\)
\(\Leftrightarrow3x+2\in\left\{1;-1;5;-5\right\}\)
hay \(x\in\left\{-\dfrac{1}{3};-1;1;-\dfrac{7}{3}\right\}\)
Bạn chỉ cần để ý điều này thôi: \(\left(x-\frac{1}{x}\right)^2=x^2-2.x.\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=x^2-2+\frac{1}{x^2}\)
Do đó giả thiết viết lại thành:
\(\left(a^2-2+\frac{1}{a^2}\right)+\left(b^2-2+\frac{1}{b^2}\right)+\left(c^2-2+\frac{1}{c^2}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-\frac{1}{a}\right)^2+\left(b-\frac{1}{b}\right)^2+\left(c-\frac{1}{c}\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-\frac{1}{a}=0\\b-\frac{1}{b}=0\\c-\frac{1}{c}=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\frac{1}{a}\\b=\frac{1}{b}\\c=\frac{1}{c}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2=1\\b^2=1\\c^2=1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(a^2\right)^{1010}=1^{1010}\\\left(b^2\right)^{1010}=1^{1010}\\\left(c^2\right)^{1010}=1^{1010}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^{2020}=1\\b^{2020}=1\\c^{2010}=1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow a^{2020}+b^{2020}+c^{2020}=3\)
Bạn xem lại đề. Với $a=-1; b=-2$ thì $a^3+b^3+ab$ âm, tức là nhỏ hơn $\frac{1}{2}$ (trái với đpcm)
a: Xét hình thang ABCD có MN//AB//CD
nên AM/MN=BN/NC
=>AM/AD=BN/BC(1)
Xét ΔADC có MO//DC
nên MO/DC=AM/AB(2)
Xét ΔBDC có ON//DC
nên ON/DC=BN/BC(3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra MO=ON(đpcm)
b:
Để \(\dfrac{1}{AB}+\dfrac{1}{CD}=\dfrac{2}{MN}\) thì \(\dfrac{MN}{AB}+\dfrac{MN}{CD}=2\)
MN=2ON=2OM
\(\dfrac{2OM}{AB}+\dfrac{2ON}{CD}=2\left(\dfrac{OM}{AB}+\dfrac{ON}{CD}\right)\)
mà OM/AB=DO/DB
và ON/CD=BO/BD
nên \(VT=2\cdot\left(\dfrac{DO}{DB}+\dfrac{BO}{DB}\right)=2\left(đpcm\right)\)
chứng minh gì vậy bạn
vẫn hè mà e đã hok oi