Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
(a,b,c khác 0 nữa)
\(\dfrac{ab+1}{b}=\dfrac{bc+1}{c}=\dfrac{ca+1}{a}\)
\(\Leftrightarrow a+\dfrac{1}{b}=b+\dfrac{1}{c}=c+\dfrac{1}{a}\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-b=\dfrac{c-b}{bc}\\b-c=\dfrac{a-c}{ca}\\c-a=\dfrac{b-a}{ab}\end{matrix}\right.\)(1)
Xét a=b hoặc b=c hoặc c=a thì=>a=b=c
Xét \(a\ne b\ne c\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)=\dfrac{\left(c-b\right)\left(a-c\right)\left(b-a\right)}{a^2b^2c^2}\)
\(\Leftrightarrow-1=\dfrac{1}{a^2b^2c^2}\)(vô nghiệm)
Vậy ...
vì \(a+b+c=1\)
\(< =>\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{a+b+c}{a}+\frac{a+b+c}{b}+\frac{a+b+c}{c}\)
\(=3+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b}+\frac{c}{b}+\frac{b}{c}+\frac{a}{c}\)
\(=3+\frac{a^2+b^2}{ab}+\frac{b^2+c^2}{bc}+\frac{c^2+a^2}{ca}\)
ta có pt:
\(\frac{ab}{a^2+b^2}+\frac{bc}{b^2+c^2}+\frac{ca}{c^2+a^2}+\frac{1}{4}\left(3+\frac{a^2+b^2}{ab}+\frac{b^2+c^2}{bc}+\frac{c^2+a^2}{ca}\right)\)
\(\frac{ab}{a^2+b^2}+\frac{bc}{b^2+c^2}+\frac{ca}{c^2+a^2}+\frac{3}{4}+\frac{a^2+b^2}{4ab}+\frac{b^2+c^2}{4bc}+\frac{c^2+a^2}{4ca}\)
áp dụng bđt cô- si( cauchy) gọi pt là P
\(P\ge2\sqrt{\frac{ab}{a^2+b^2}\frac{a^2+b^2}{4ab}}+2\sqrt{\frac{bc}{b^2+c^2}\frac{b^2+c^2}{4bc}}+2\sqrt{\frac{ca}{c^2+a^2}\frac{c^2+a^2}{4ca}}+\frac{3}{4}\)
\(P\ge2\sqrt{\frac{1}{4}}+2\sqrt{\frac{1}{4}}+2\sqrt{\frac{1}{4}}+\frac{3}{4}\)
\(P\ge2.\frac{1}{2}+2.\frac{1}{2}+2.\frac{1}{2}+\frac{3}{4}\)
\(P\ge1+1+1+\frac{3}{4}=\frac{15}{4}\)
dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
<=>ĐPCM
Bài 1 với bài 2 như nhau, đăng làm gì cho tốn công :))
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :
\(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2\sqrt{\frac{ab}{c}.\frac{bc}{a}}=2b\)
\(\frac{ab}{c}+\frac{ca}{b}\ge2\sqrt{\frac{ab}{c}.\frac{ca}{b}}=2a\)
\(\frac{ac}{b}+\frac{bc}{a}\ge2\sqrt{\frac{ac}{b}.\frac{bc}{a}}=2c\)
Cộng vế với vế ta được :
\(2\left(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge a+b+c\)(đpcm)
vip
vip
vip
chúc bạn học ngu
Ta có: \(\frac{ab+1}{b}=\frac{bc+1}{c}=\frac{ac+1}{a}\Leftrightarrow a+\frac{1}{b}=b+\frac{1}{c}=c+\frac{1}{a}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a-b=\frac{1}{c}-\frac{1}{b}\\b-c=\frac{1}{a}-\frac{1}{c}\\c-a=\frac{1}{b}-\frac{1}{a}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a-b=\frac{b-c}{bc}\left(1\right)\\b-c=\frac{c-a}{ac}\left(2\right)\\c-a=\frac{a-b}{ab}\left(3\right)\end{cases}}\)
Nhân (1), (2), (3) vế theo vế, ta được:
\(\left(a-b\right)\left(b-a\right)\left(c-a\right)=\frac{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}{a^2.b^2.c^2}\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\left(1-\frac{1}{a^2.b^2.c^2}\right)=0\)
Do đó: \(\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)=0\)
\(\Rightarrow a=b\) hoặc \(b=c\) hoặc \(c=a\)
Với a = b thay vào (1) ta được: b = c => a = b = c.
Với b = c thay vào (2) ta được: c = a => a = b = c.
Với c = a thay vào (1) ta được: a = b => a = b = c.
\(\Rightarrow a=b=c\left(đpcm\right)\)