Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(a\left(a^2-bc\right)+b\left(b^2-ac\right)+c\left(c^2-ab\right)=0\)
\(a^3-abc+b^3-abc+c^3-abc=0\)
\(a^3+b^3+c^3-3abc=0\)
\(\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b+c\right)=0\)
\(\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2+2ab-bc-ca\right)-3ab\left(a+b+c\right)=0\)
\(\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2+2ab-bc-ca-3ab\right)=0\)
\(\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-bc-ca-ab\right)=0\)
Mà \(a+b+c\ne0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2-bc-ca-ab=0\)
\(a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca\)
\(2\left(a^2+b^2+c^2\right)=2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0\)
\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)
mình làm hơi tắt.
Đến đây bạn tự làm nốt nhé~
a² + b² + c² + d² + e² ≥ a(b + c + d + e)
Ta có: a² + b² + c² + d² + e²
= (a²/4 + b²) + (a²/4 + c²) + (a²/4 + d²) + (a²/4 + e²)
Lại có: (a/2 - b)² ≥ 0 <=> a²/4 - ab + b² ≥ 0 <=> a²/4 + b² ≥ ab
Tương tự ta có:
. a²/4 + c² ≥ ac
. a²/4 + d² ≥ ad
. a²/4 + e² ≥ ae
--> (a²/4 + b²) + (a²/4 + c²) + (a²/4 + d²) + (a²/4 + e²) ≥ ab + ac + ad + ae
<=> a² + b² + c² + d² + e² ≥ a(b + c + d + e) --> đ.p.c.m
Dấu " = " xảy ra <=> a/2 = b = c = d = e
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)^3=-\frac{1}{c^3}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^3}+\frac{3}{a^2b}+\frac{3}{ab^2}+\frac{1}{b^3}=-\frac{1}{c^3}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=-\frac{3}{a^2b}-\frac{3}{ab^2}=-\frac{3}{ab}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=\frac{3}{abc}\)
\(\Rightarrow abc\left(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\right)=\frac{3}{abc}.abc\)
\(\Rightarrow\frac{bc}{a^2}+\frac{ca}{b^2}+\frac{ac}{b^2}=3\)
ta thấy từ a+b+c=0 \(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=3abc\)(được cm nhiều trg sách cx như trên mạng)
\(\frac{a^2}{bc}+\frac{b^2}{ac}+\frac{c^2}{ab}=\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}=\frac{3abc}{abc}=3\)
suy ra đpcm
Ta có : \(a+b+c=0\)
Lập phương 2 vế lên ta có :
\(\left(a+b+c\right)^3=0^3\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0\)
mà \(a+b+c=0\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b=-c\\b+c=-a\\a+c=-b\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+3\left(-a\right)\left(-b\right)\left(-c\right)=0\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=0\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=3abc\)
Ta lại có:
\(\frac{a^2}{bc}+\frac{b^2}{ca}+\frac{c^2}{ab}-3=0\)
\(\Rightarrow\frac{a^3}{abc}+\frac{b^3}{abc}+\frac{c^3}{abc}-3=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}-3=0\)
Theo chứng minh trên có : \(a^3+b^3+c^3=3abc\)
\(\Rightarrow\frac{3abc}{abc}-3=0\)
\(\Leftrightarrow3-3=0\)( đúng )
Vậy với \(a+b+c=0\left(a\ne0;b\ne0;c\ne0\right)\)thì \(\frac{a^2}{bc}+\frac{b^2}{ca}+\frac{c^2}{ab}-3=0\)
Cho mình sửa đề một chút nha 
\(A=\dfrac{ab}{a^2+b^2-c^2}+\dfrac{bc}{b^2+c^2-a^2}+\dfrac{ca}{c^2+a^2-b^2}\)(*)
Theo bài ra , ta có :
\(\left(+\right)a+b+c=0\)
\(\Leftrightarrow a+b=-c\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2=c^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2=c^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2-c^2=-2ab\) (1)
\(\left(+\right)a+b+c=0\)
\(\Leftrightarrow b+c=-a\)
\(\Leftrightarrow\left(b+c\right)^2=a^2\)
\(\Leftrightarrow b^2+2bc+c^2=a^2\)
\(\Leftrightarrow b^2+c^2-a^2=-2bc\) (2)
\(\left(+\right)a+b+c=0\)
\(\Leftrightarrow a+c=-b\)
\(\Leftrightarrow\left(a+c\right)^2=b^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ac+c^2=b^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+c^2-b^2=-2ac\) (3)
Thay (1) , (2) , (3) vào (*) ta được
\(A=\dfrac{ab}{a^2+b^2-c^2}+\dfrac{bc}{b^2+c^2-a^2}+\dfrac{ca}{c^2+a^2-b^2}\)
\(=\dfrac{ab}{-2ab}+\dfrac{bc}{-2bc}+\dfrac{ca}{-2ca}=-\dfrac{1}{2}+-\dfrac{1}{2}+-\dfrac{1}{2}=-\dfrac{3}{2}\)
Vậy \(A=-\dfrac{3}{2}\)
Chúc bạn học tốt =))
1. a + b + c = 0 \(\Rightarrow\)a + b = -c \(\Rightarrow\)( a + b )2 = ( -c )2 \(\Rightarrow\)a2 + b2 - c2 = -2ab
Tương tự : b2 + c2 - a2 = -2bc ; c2 + a2 - b2 = -2ac
Ta có : \(\frac{1}{a^2+b^2-c^2}+\frac{1}{b^2+c^2-a^2}+\frac{1}{c^2+a^2-b^2}\)
\(=\frac{1}{-2ab}+\frac{1}{-2bc}+\frac{1}{-2ac}=\frac{-1}{2}\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\right)\)
\(=\frac{-1}{2}\left(\frac{a+b+c}{abc}\right)=0\)
2. tương tự
3,4 . có ở dưới, câu hỏi của Quyết Tâm chiến thắng
Có a + b + c = 0
=> a + b = - c
=> (a + b)2 = c2
=> a2 + b2 + 2ab = c2
=> a2 + b2 - c2 = - 2ab
Tương tự, b2 + c2 - a2 = - 2bc và c2 + a2 - b2 = - 2ca
Do đó \(A=\frac{ab}{-2ab}+\frac{bc}{-2bc}+\frac{ca}{-2ca}=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}\)
a+b+c=0=>a+b=-c=>a2+b2+2ab=c2=>a2+b2-c2=-2ab
Tương tự b2+c2-a2=-2bc,c2+a2-b2=-2ac
=>\(A=\frac{-ab}{2ab}+\frac{-bc}{2bc}+\frac{-ca}{2ca}=\frac{-3}{2}\)
\(a-b+c=0\Rightarrow a=b-c;b=a+c;c=b-a\)
\(\Rightarrow a^2=b^2-2bc+c^2;b^2=a^2+2ac+c^2;c^2=b^2-2ab+a^2\)
\(\text{Suy ra: }\frac{ab}{a^2+b^2-c^2}+\frac{bc}{b^2+c^2-a^2}+\frac{ac}{a^2+c^2-b^2}\)
\(=\frac{ab}{-2bc+2b^2}+\frac{bc}{2ac+2c^2}+\frac{ac}{-2ab+2a^2}\)
\(=\frac{a}{2.\left(b-c\right)}+\frac{b}{2.\left(a+c\right)}+\frac{c}{-2.\left(b-a\right)}\)
\(=\frac{a}{2a}+\frac{b}{2b}+\frac{c}{-2c}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\)
2