K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

7 tháng 12 2017

\(\sqrt{a^2+\frac{1}{b^2}}+\sqrt{b^2+\frac{1}{c^2}}+\sqrt{c^2+\frac{1}{a^2}}\)

\(\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}\)

\(\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+\frac{81}{\left(a+b+c\right)^2}}\)

\(\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+\frac{81}{16\left(a+b+c\right)^2}+\frac{1215}{16\left(a+b+c\right)^2}}\)

\(\ge\sqrt{\frac{2.9}{4}+\frac{1215.4}{16.9}}=\frac{3\sqrt{17}}{2}\)

7 tháng 12 2017

a2+1b2 +b2+1c2 +c2+1a2 

(a+b+c)2+(1a +1b +1c )2

(a+b+c)2+81(a+b+c)2 

(a+b+c)2+8116(a+b+c)2 +121516(a+b+c)2 

2.94 +1215.416.9 =3172 

7 tháng 1 2016

\(S\ge3\sqrt[6]{\frac{a^2b^2+1}{ab}.\frac{b^2c^2+1}{bc}.\frac{c^2a^2+1}{ca}}\)

 

7 tháng 1 2016

Nguyễn Nhật Minh giải tiếp đi 

14 tháng 8 2016

chtt đi

14 tháng 2 2017

Ta có \(a+b+c\le\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2\le3\)

\(\Rightarrow\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\le1\)

Theo hệ quả của bất đẳng thức Cauchy

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ac\right)\)

\(\Rightarrow\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\ge ab+bc+ac\)

\(\Rightarrow1\ge ab+bc+ac\)

\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}1+a^2\ge a^2+ab+bc+ac\\1+b^2\ge b^2+ab+bc+ac\\1+c^2\ge c^2+ab+bc+ac\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}\sqrt{1+a^2}\ge\sqrt{a^2+ab+bc+ca}\\\sqrt{1+b^2}\ge\sqrt{b^2+ab+bc+ca}\\\sqrt{1+c^2}\ge\sqrt{c^2+ab+bc+ca}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}\frac{a}{\sqrt{1+a^2}}\le\frac{a}{\sqrt{a^2+ab+bc+ac}}\\\frac{b}{\sqrt{1+b^2}}\le\frac{b}{\sqrt{b^2+ab+bc+ac}}\\\frac{c}{\sqrt{1+c^2}}\le\frac{c}{\sqrt{c^2+ab+bc+ac}}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\frac{a}{\sqrt{a^2+1}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+1}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+1}}\le\frac{a}{\sqrt{a^2+ab+bc+ca}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+ab+bc+ca}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+ab+bc+ca}}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{\sqrt{a^2+1}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+1}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+1}}\le\frac{a}{\sqrt{a\left(a+b\right)+c\left(a+b\right)}}+\frac{b}{\sqrt{b\left(b+a\right)+c\left(a+b\right)}}+\frac{c}{\sqrt{c\left(c+a\right)+b\left(c+a\right)}}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{\sqrt{a^2+1}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+1}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+1}}\le\frac{a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\frac{b}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}+\frac{c}{\sqrt{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\)

Xét \(\frac{a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\frac{b}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}+\frac{c}{\sqrt{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ngược dấu cho 2 bộ số thực không âm

\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\ge\frac{2a+b+c}{2}\\\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}\ge\frac{a+2b+c}{2}\\\sqrt{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}\ge\frac{a+b+2c}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}\frac{a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\frac{2a}{2b+b+c}\\\frac{b}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}\le\frac{2b}{a+2b+c}\\\frac{c}{\sqrt{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\le\frac{2c}{a+b+2c}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\frac{a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\frac{b}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}+\frac{c}{\sqrt{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\le2\left(\frac{a}{2a+b+c}+\frac{b}{a+2b+c}+\frac{c}{a+b+2c}\right)\)

Chứng minh rằng: \(2\left(\frac{a}{2a+b+c}+\frac{b}{a+2b+c}+\frac{c}{a+b+2c}\right)\le\frac{3}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a}{2a+b+c}+\frac{b}{a+2b+c}+\frac{c}{a+b+2c}\le\frac{3}{4}\)

Áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{a+b}\ge\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\) với a , b > 0

\(\Rightarrow\frac{a}{2a+b+c}=\frac{a}{a+c+a+b}\le\frac{a}{4}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right)\)

\(\Rightarrow\frac{b}{a+2b+c}=\frac{b}{a+b+b+c}\le\frac{b}{4}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}\right)\)

\(\Rightarrow\frac{c}{a+b+2c}=\frac{c}{a+c+b+c}\le\frac{c}{4}\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)\)

\(\Rightarrow VT\le\frac{a}{4\left(a+b\right)}+\frac{a}{4\left(a+c\right)}+\frac{b}{4\left(a+b\right)}+\frac{b}{4\left(b+c\right)}+\frac{c}{4\left(a+c\right)}+\frac{c}{4\left(b+c\right)}\)

\(\Rightarrow VT\le\frac{a}{4\left(a+b\right)}+\frac{b}{4\left(a+b\right)}+\frac{a}{4\left(a+c\right)}+\frac{c}{4\left(a+c\right)}+\frac{b}{4\left(b+c\right)}+\frac{c}{4\left(b+c\right)}\)

\(\Rightarrow VT\le\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\left(đpcm\right)\)

\(\Rightarrow2\left(\frac{a}{2a+b+c}+\frac{b}{a+2b+c}+\frac{c}{a+b+2c}\right)\le\frac{3}{2}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\frac{b}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}+\frac{c}{\sqrt{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\le\frac{3}{2}\)

Vậy \(\frac{a}{\sqrt{a^2+1}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+1}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+1}}\le\frac{3}{2}\left(đpcm\right)\)

AH
Akai Haruma
Giáo viên
14 tháng 2 2017

Lời giải khác:

Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz:

\((a^2+1)(1+3)\geq (a+\sqrt{3})^2\)\(\Rightarrow \frac{a}{\sqrt{a^2+1}}\leq \frac{2a}{a+\sqrt{3}}\)

Thực hiện tương tự với các phân thức còn lại:

\(\Rightarrow \frac{a}{\sqrt{a^2+1}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+1}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+1}}\leq 2\left ( \frac{a}{a+\sqrt{3}}+\frac{b}{b+\sqrt{3}}+\frac{c}{c+\sqrt{3}} \right )=2A\) $(1)$

Lại có:

\(\)\(A=\left ( 1-\frac{\sqrt{3}}{a+\sqrt{3}} \right )+\left ( 1-\frac{\sqrt{3}}{b+\sqrt{3}} \right )+\left ( 1-\frac{\sqrt{3}}{c+\sqrt{3}} \right )=3-\sqrt{3}\left ( \frac{1}{a+\sqrt{3}}+\frac{1}{b+\sqrt{3}}+\frac{1}{c+\sqrt{3}} \right )\)

Cauchy-Schwarz kết hợp với \(a+b+c\leq \sqrt{3}\):

\(A\leq 3-\frac{9\sqrt{3}}{a+b+c+3\sqrt{3}}\leq 3-\frac{9\sqrt{3}}{4\sqrt{3}}=\frac{3}{4}\) $(2)$

Từ \((1),(2)\Rightarrow \text{VT}\leq 2A\leq \frac{3}{2}\) (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

17 tháng 10 2020

2. \(BĐT\Leftrightarrow\frac{1}{1+\frac{2}{a}}+\frac{1}{1+\frac{2}{b}}+\frac{1}{1+\frac{2}{c}}\ge1\)

Đặt\(\frac{2}{a}=x;\frac{2}{b}=y;\frac{2}{c}=z\)thì \(\hept{\begin{cases}x,y,z>0\\xyz=8\end{cases}}\)

Ta cần chứng minh \(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\ge1\Leftrightarrow\left(yz+y+z+1\right)+\left(zx+z+x+1\right)+\left(xy+x+y+1\right)\ge xyz+\left(xy+yz+zx\right)+\left(x+y+z\right)+1\)\(\Leftrightarrow x+y+z\ge6\)(Đúng vì \(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}=6\))

Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 2 hay a = b = c = 1

17 tháng 10 2020

3. Ta có: \(a+b+c\le\sqrt{3}\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2\le3\)

Ta có đánh giá quen thuộc \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)

Từ đó suy ra \(ab+bc+ca\le1\)

\(A=\frac{\sqrt{a^2+1}}{b+c}+\frac{\sqrt{b^2+1}}{c+a}+\frac{\sqrt{c^2+1}}{a+b}\ge\frac{\sqrt{a^2+ab+bc+ca}}{b+c}+\frac{\sqrt{b^2+ab+bc+ca}}{c+a}+\frac{\sqrt{c^2+ab+bc+ca}}{a+b}\)\(=\frac{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}{b+c}+\frac{\sqrt{\left(b+a\right)\left(b+c\right)}}{c+a}+\frac{\sqrt{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}{a+b}\ge3\sqrt[3]{\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}=3\)Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

23 tháng 3 2019

2 ) Ta có : \(\frac{1}{3}\left(a^3+b^3+a+b\right)+ab\le a^2+b^2+1\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{3}\left(a+b\right)\left(a^2+b^2+1-ab\right)+ab\le a^2+b^2+1\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+1\right)\left(\frac{a+b}{3}-1\right)-ab\left(\frac{a+b}{3}-1\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+1-ab\right)\left(\frac{a+b}{3}-1\right)\le0\)

Do a ; b dương \(\Rightarrow a^2+b^2+1-ab>0\Rightarrow\frac{a+b}{3}-1\le0\)

\(\Leftrightarrow a+b\le3\)

\(M=\frac{a^2+8}{a}+\frac{b^2+2}{b}=a+\frac{8}{a}+b+\frac{2}{b}=2a+\frac{8}{a}+\frac{2}{b}+2b-\left(a+b\right)\ge8+4-3=9\)

( áp dụng BĐT Cauchy cho a ; b dương )

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=2;b=1\)

NV
23 tháng 3 2019

Tìm min cho K, tìm max có lẽ Bunhia là ra thôi:

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{3a+1}=x\\\sqrt{3b+1}=y\\\sqrt{3x+1}=z\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow1\le x;y;z\le\sqrt{10}\)

\(x^2+y^2+z^2=3\left(a+b+c\right)+3=12\)

Bài toán trở thành cho \(x^2+y^2+z^2=12\), tìm min \(P=x+y+z\)

Ta có: \(\left(x-1\right)\left(x-\sqrt{10}\right)\le0\Rightarrow x^2-\left(\sqrt{10}+1\right)x+\sqrt{10}\le0\)

\(\left(y-1\right)\left(y-\sqrt{10}\right)=y^2-\left(\sqrt{10}+1\right)y+\sqrt{10}\le0\)

\(\left(z-1\right)\left(z-\sqrt{10}\right)=z^2-\left(\sqrt{10}+1\right)z+\sqrt{10}\le0\)

Cộng vế với vế:

\(x^2+y^2+z^2-\left(\sqrt{10}+1\right)\left(x+y+z\right)+3\sqrt{10}\le0\)

\(\Rightarrow x+y+z\ge\frac{x^2+y^2+z^2+3\sqrt{10}}{\sqrt{10}+1}=\frac{12+3\sqrt{10}}{\sqrt{10}+1}=2+\sqrt{10}\)

\(\Rightarrow P_{min}=2+\sqrt{10}\) khi \(\left(x;y;z\right)=\left(1;1;\sqrt{10}\right)\) và các hoán vị hay \(\left(a;b;c\right)=\left(3;0;0\right)\) và các hoán vị

NV
8 tháng 6 2020

Đề bài sai, giả sử \(a=0;b=-1;c=4\) thì biểu thức ko xác định

Do đó điều kiện phải là a;b;c là số thực dương

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}-\frac{2}{\sqrt{a}}+1+\frac{1}{b}-\frac{2}{\sqrt{b}}+1+\frac{1}{c}-\frac{2}{\sqrt{c}}+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{\sqrt{a}}-1\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{b}}-1\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{c}}-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Vậy BĐT ban đầu đúng

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)

Điều kiện \(a+b+c=3\) thừa ko biết để làm gì :)