LA
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
6 tháng 8 2020
Dễ thôi
Ta có:
\(ab+bc+ca+abc=4\Rightarrow\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}=1\) ( cái này cơ bản )
Theo AM - GM:
\(\left(a+b\right)^2+20=\left[\left(a+b\right)^2+4\right]+16\ge4\left(a+b\right)+16=4\left[\left(a+2\right)+\left(b+2\right)\right]\)
Áp dụng Cauchy Schwarz:
\(P\le\Sigma\frac{4}{4\left[\left(a+2\right)+\left(b+2\right)\right]}=\Sigma\frac{1}{\left(a+2\right)+\left(b+2\right)}\le\frac{1}{4}\Sigma\left(\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}\right)=\frac{1}{2}\)
Đẳng thức xảy ra tại a=b=c=1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
24 tháng 11 2018
Lời giải:
Đặt \((a+1,b+1,c+1)=(x,y,z)\Rightarrow (a,b,c)=(x-1,y-1,z-1)\)
Khi đó:
\(ab+bc+ac+abc=2\)
\(\Leftrightarrow (x-1)(y-1)+(y-1)(z-1)+(z-1)(x-1)+(x-1)(y-1)(z-1)=2\)
\(\Leftrightarrow xyz-(x+y+z)+2=2\Leftrightarrow xyz=x+y+z\)
Vậy bài toán trở thành: Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn \(x+y+z=xyz\)
Tìm max \(P=\sum \frac{x}{x^2+1}\)
----------------------------------
Ta có: \(x+y+z=xyz\Rightarrow x(x+y+z)=x^2yz\)
\(\Rightarrow x(x+y+z)+yz=yz(x^2+1)\)
\(\Leftrightarrow (x+y)(x+z)=yz(x^2+1)\Rightarrow x^2+1=\frac{(x+y)(x+z)}{yz}\)
Do đó: \(\frac{x}{x^2+1}=\frac{x}{\frac{(x+y)(x+z)}{yz}}=\frac{xyz}{(x+y)(x+z)}\)
\(\Rightarrow P=\sum \frac{x}{x^2+1}=\sum \frac{xyz}{(x+y)(x+z)}=\frac{2xyz(x+y+z)}{(x+y)(y+z)(x+z)}\)
Theo BĐT AM-GM:
\((x+y)(y+z)(x+z)=(x+y+z)(xy+yz+xz)-xyz\)
\(\geq (x+y+z).(xy+yz+xz)-\frac{(x+y+z)(xy+yz+xz)}{9}=\frac{8}{9}(x+y+z)(xy+yz+xz)\)
\(\Rightarrow P\leq \frac{2xyz(x+y+z)}{\frac{8}{9}(x+y+z)(xy+yz+xz)}=\frac{9}{4}.\frac{xyz}{xy+yz+xz}(*)\)
Mà: \((xy+yz+xz)^2\geq 3xyz(x+y+z)=3(xyz)^2\)
\(\Rightarrow xy+yz+xz\geq \sqrt{3}xyz(**)\)
Từ \((*);(**)\Rightarrow P\leq \frac{9}{4}.\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{3}}{4}\). Vậy \(P_{\max}=\frac{3\sqrt{3}}{4}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
3 tháng 5 2021
\(P\le\dfrac{a}{2\sqrt{a^2bc}}+\dfrac{b}{2\sqrt{b^2ca}}+\dfrac{c}{2\sqrt{c^2ab}}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{ab}}+\dfrac{1}{\sqrt{bc}}+\dfrac{1}{\sqrt{ca}}\right)\)
\(P\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{ab+bc+ca}{abc}\right)\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a^2+b^2+c^2}{abc}\right)=\dfrac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=3\)
3 tháng 5 2021
Áp dụng cosi:
`a^2+bc>=2a\sqrt{bc}`
Hoàn toàn tương tự:
`=>P<=1/2(1/sqrt{ab}+1/sqrt{bc}+1/sqrt{ca})`
Áp dụng cosi:
`1/a+1/b+1/c>=1/sqrt(ab)+1/sqrt(bc)+1/sqrt(ca)`
`=>P<=1/2(1/a+1/b+1/c)`
`=>P<=1/2((ab+bc+ca)/(abc))<=(a^2+b^2+c^2)/(2(abc))=1/2`
Dấu "=" `<=>a=b=c=3`
19 tháng 4 2023
\(\dfrac{1}{\sqrt{a^2-ab+b^2}}< =\dfrac{1}{\sqrt{2ab-ab}}=\dfrac{1}{\sqrt{ab}}\)
\(\sqrt{\dfrac{1}{b^2-bc+c^2}}< =\dfrac{1}{\sqrt{bc}};\sqrt{\dfrac{1}{c^2-ac+c^2}}< =\dfrac{1}{\sqrt{ac}}\)
=>P<=1/a+1/b+1/c=3
Dấu = xảy ra khi a=b=c=1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
12 tháng 5 2021
Đề bài có nhầm lẫn gì ko nhỉ?
\(T=\dfrac{ab}{a^2+b^2+ab}+\dfrac{bc}{b^2+c^2+2bc}+\dfrac{ca}{c^2+a^2+ca}\le\dfrac{ab}{2ab+ab}+\dfrac{bc}{2bc+bc}+\dfrac{ca}{2ca+ca}=1\)
TN
0
TN
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
27 tháng 12 2022
\(\dfrac{4}{3}\le a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}=a+\sqrt[]{\dfrac{a}{2}.2b}+\sqrt[3]{\dfrac{a}{4}.b.4c}\)
\(\le a+\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a}{2}+2b\right)+\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{a}{4}+b+4c\right)=\dfrac{4}{3}\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow Q\ge1\)
\(Q_{min}=1\) khi \(\left(a;b;c\right)=\left(\dfrac{16}{21};\dfrac{4}{21};\dfrac{1}{21}\right)\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
1 tháng 11 2021
\(ab\left(a+b\right)=a^2+b^2-ab\Rightarrow ab=\dfrac{a^2+b^2-ab}{a+b}\)
\(A=\dfrac{a^3+b^3}{a^3b^3}=\dfrac{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2-ab\right)}{a^3b^3}=\dfrac{\left(a+b\right)ab\left(a+b\right)}{a^3b^3}=\dfrac{\left(a+b\right)^2}{a^2b^2}\)
\(=\left(\dfrac{a+b}{ab}\right)^2=\left(\dfrac{a+b}{\dfrac{a^2+b^2-ab}{a+b}}\right)^2=\left(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{a^2+b^2-ab}\right)^2\)
Ta có: \(a^2+b^2-ab>0;\forall a;b\ne0\Rightarrow\dfrac{\left(a+b\right)^2}{a^2+b^2-ab}\ge0\)
\(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{a^2+b^2-ab}=\dfrac{a^2+b^2+2ab}{a^2+b^2-ab}=\dfrac{4\left(a^2+b^2-ab\right)-3\left(a^2+b^2-2ab\right)}{a^2+b^2-ab}=4-\dfrac{3\left(a-b\right)^2}{a^2+b^2-ab}\le4\)
\(\Rightarrow0\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{a^2+b^2-ab}\le4\)
\(\Rightarrow A\le16\)
\(A_{max}=16\) khi \(a=b=\dfrac{1}{2}\)
Với mọi a;b dương ta có:
\(a^4+b^4\ge\dfrac{1}{2}\left(a^2+b^2\right)^2=\dfrac{1}{2}\left(a^2+b^2\right).\left(a^2+b^2\right)\ge\dfrac{1}{2}.2ab.\left(a^2+b^2\right)=ab\left(a^2+b^2\right)\)
Và: \(a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2+b^2-ab\right)\ge\left(a+b\right)\left(2ab-ab\right)=ab\left(a+b\right)\)
Do đó:
\(A\le\sum\dfrac{ab}{ab\left(a^2+b^2\right)+ab}+2020=\sum\dfrac{1}{a^2+b^2+1}+2020\)
Đặt \(\left(a^2;b^2;c^2\right)=\left(x^3;y^3;z^3\right)\Rightarrow xyz=1\)
\(\Rightarrow A\le\sum\dfrac{1}{x^3+y^3+1}+2020\le\sum\dfrac{1}{xy\left(x+y\right)+1}+2020\)
\(A\le\sum\dfrac{xyz}{xy\left(x+y\right)+xyz}+2020=\sum\dfrac{z}{x+y+z}+2020=1+2020=2021\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)