Câu hỏi của Admin (a@olm.vn)

Question

Cho  $a,b,c$  là ba số dương. Chứng minh rằng

$\dfrac{3}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{36}{3a+2b+c}$.

l҉o҉n҉g҉ d҉z҉ · Accepted Answer

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có ngay : $\frac{3}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{c}=\frac{9}{3a}+\frac{4}{2b}+\frac{1}{c}\ge\frac{\left(3+2+1\right)^2}{3a+2b+c}=\frac{36}{3a+2b+c}\left(đpcm\right)$Đẳng thức xảy ra <=> a=b=c Câu trả lời: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có ngay : $\frac{3}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{c}=\frac{9}{3a}+\frac{4}{2b}+\frac{1}{c}\ge\frac{\left(3+2+1\right)^2}{3a+2b+c}=\frac{36}{3a+2b+c}\left(đpcm\right)$Đẳng thức xảy ra <=> a=b=c

Phạm Thành Đông · Answer

Trước hết, ta chứng minh được $\forall m,n,p\in R;x,y,z>0$thì:$\frac{m^2}{x}+\frac{n^2}{y}+\frac{p^2}{z}\ge\frac{\left(m+n+p\right)^2}{x+y+z}\left(1\right)$Dấu  bằng xảy ra $\Leftrightarrow\frac{m}{x}=\frac{n}{y}=\frac{p}{z}$Thật vậy: $\forall m,n\in R;x,y>0$thì:$\frac{m^2}{x}+\frac{n^2}{y}\ge\frac{\left(m+n\right)^2}{x+y}\left(2\right)$$\Leftrightarrow\frac{m^2y}{xy}+\frac{n^2x}{xy}\ge\frac{\left(m+n\right)^2}{x+y}$$\Leftrightarrow\left(m^2y+n^2x\right)\left(x+y\right)\ge xy\left(m+n\right)^2$$\Leftrightarrow m^2xy+m^2y^2+n^2x^2+n^2xy\ge xy\left(m^2+2mn+m^2\right)$$\Leftrightarrow m^2xy+n^2xy+m^2y^2+n^2x^2\ge m^2xy+2mnxy+n^2xy$$\Leftrightarrow m^2xy+n^2xy+m^2y^2+n^2x^2-m^2xy-2mnxy-n^2xy\ge0$$\Leftrightarrow m^2y^2-2mnxy+n^2x^2\ge0$$\Leftrightarrow\left(my-nx\right)^2\ge0$(luôn đúng).Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow\frac{m}{x}=\frac{n}{y}$Áp dụng bất dẳng thức (2), ta được:$\frac{m^2}{x}+\frac{n^2}{y}+\frac{p^2}{z}\ge\frac{\left(m+n\right)^2}{x+y}+\frac{p^2}{z}\ge\frac{\left(m+n+p\right)^2}{x+y+z}\forall m,n,p\in R;x,y,z>0$Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow\frac{m}{x}=\frac{n}{y}=\frac{p}{z}$Theo đề bài, vì $a,b,c>0$nên áp dụng bất đẳng thức (1), ta được:$\frac{3}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{c}=\frac{3^2}{3a}+\frac{2^2}{2b}+\frac{1^2}{c}\ge\frac{\left(3+2+1\right)^2}{3a+2b+c}$$\Leftrightarrow\frac{3}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{6^2}{3a+2b+c}=\frac{36}{3a+2b+c}$(điều phải chứng minh).Dấu bằng xảy ra.$\Leftrightarrow\frac{3}{a}=\frac{2}{b}=\frac{1}{c}\Leftrightarrow6a=9b=18c$Vậy với $a,b,c>0$thì $\frac{3}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{36}{3a+2b+c}$Câu trả lời: Trước hết, ta chứng minh được $\forall m,n,p\in R;x,y,z>0$thì:$\frac{m^2}{x}+\frac{n^2}{y}+\frac{p^2}{z}\ge\frac{\left(m+n+p\right)^2}{x+y+z}\left(1\right)$Dấu  bằng xảy ra $\Leftrightarrow\frac{m}{x}=\frac{n}{y}=\frac{p}{z}$Thật vậy: $\forall m,n\in R;x,y>0$thì:$\frac{m^2}{x}+\frac{n^2}{y}\ge\frac{\left(m+n\right)^2}{x+y}\left(2\right)$$\Leftrightarrow\frac{m^2y}{xy}+\frac{n^2x}{xy}\ge\frac{\left(m+n\right)^2}{x+y}$$\Leftrightarrow\left(m^2y+n^2x\right)\left(x+y\right)\ge xy\left(m+n\right)^2$$\Leftrightarrow m^2xy+m^2y^2+n^2x^2+n^2xy\ge xy\left(m^2+2mn+m^2\right)$$\Leftrightarrow m^2xy+n^2xy+m^2y^2+n^2x^2\ge m^2xy+2mnxy+n^2xy$$\Leftrightarrow m^2xy+n^2xy+m^2y^2+n^2x^2-m^2xy-2mnxy-n^2xy\ge0$$\Leftrightarrow m^2y^2-2mnxy+n^2x^2\ge0$$\Leftrightarrow\left(my-nx\right)^2\ge0$(luôn đúng).Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow\frac{m}{x}=\frac{n}{y}$Áp dụng bất dẳng thức (2), ta được:$\frac{m^2}{x}+\frac{n^2}{y}+\frac{p^2}{z}\ge\frac{\left(m+n\right)^2}{x+y}+\frac{p^2}{z}\ge\frac{\left(m+n+p\right)^2}{x+y+z}\forall m,n,p\in R;x,y,z>0$Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow\frac{m}{x}=\frac{n}{y}=\frac{p}{z}$Theo đề bài, vì $a,b,c>0$nên áp dụng bất đẳng thức (1), ta được:$\frac{3}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{c}=\frac{3^2}{3a}+\frac{2^2}{2b}+\frac{1^2}{c}\ge\frac{\left(3+2+1\right)^2}{3a+2b+c}$$\Leftrightarrow\frac{3}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{6^2}{3a+2b+c}=\frac{36}{3a+2b+c}$(điều phải chứng minh).Dấu bằng xảy ra.$\Leftrightarrow\frac{3}{a}=\frac{2}{b}=\frac{1}{c}\Leftrightarrow6a=9b=18c$Vậy với $a,b,c>0$thì $\frac{3}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{36}{3a+2b+c}$

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP