K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

NM
8 tháng 5 2021

Đặt \(x=\frac{1}{a}, y=\frac{1}{b}, z=\frac{1}{c}, \Rightarrow x+y+z=2\)

Suy ra    \(\frac{1}{a\left(2a-1\right)^2}+\frac{1}{b\left(2b-1\right)^2}+\frac{1}{c\left(2c-1\right)^2}=\frac{x^3}{\left(2-x\right)^2}+\frac{y^3}{\left(2-y\right)^2}+\frac{z^3}{\left(2-z\right)^2}\)

Ta có \(\frac{x^3}{\left(2-x\right)^2}+\frac{2-x}{8}+\frac{2-x}{8}\ge3\sqrt[3]{\frac{x^3}{\left(2-x\right)^2} .\frac{2-x}{8}.\frac{2-x}{8}}=\frac{3x}{4}.\)

\(\Rightarrow\frac{x^3}{\left(2-x\right)^2}\ge x-\frac{1}{2}\)\(\Rightarrow\frac{x^3}{\left(2-x\right)^2}+\frac{y^3}{\left(2-y\right)^2}+\frac{z^3}{\left(2-z\right)^2}\ge x+y+z-\frac{3}{2}=2-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}\)

dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{2}{3}\)hay \(a=b=c=\frac{3}{2}\)

NV
9 tháng 2 2020

a/ Với mọi số thực ta luôn có:

\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

Lại có do a;b;c là ba cạnh của 1 tam giác nên theo BĐT tam giác ta có:

\(a+b>c\Rightarrow ac+bc>c^2\)

\(a+c>b\Rightarrow ab+bc>b^2\)

\(b+c>a\Rightarrow ab+ac>a^2\)

Cộng vế với vế: \(2\left(ab+bc+ca\right)>a^2+b^2+c^2\)

NV
9 tháng 2 2020

b/

Do a;b;c là ba cạnh của tam giác nên các nhân tử vế phải đều dương

Ta có:

\(\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\le\frac{1}{4}\left(a+b-c+b+c-a\right)^2=b^2\)

Tương tự: \(\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)\le a^2\)

\(\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\le c^2\)

Nhân vế với vế:

\(a^2b^2c^2\ge\left(a+b-c\right)^2\left(b+c-a\right)^2\left(a+c-b\right)^2\)

\(\Leftrightarrow abc\ge\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\)

NV
5 tháng 11 2019

\(a+b+c=6abc\Leftrightarrow\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=6\)

Đặt \(\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)=\left(x;y;z\right)\Rightarrow xy+yz+zx=6\)

\(P=\frac{x^3}{y+2z}+\frac{y^3}{z+2x}+\frac{z^3}{x+2y}=\frac{x^4}{xy+2zx}+\frac{y^4}{yz+2xy}+\frac{z^4}{zx+2yz}\)

\(P\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3\left(xy+yz+zx\right)}\ge\frac{\left(xy+yz+zx\right)^2}{3\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{xy+yz+zx}{3}=2\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\sqrt{2}\) hay \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{2}}\)