Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt \(\left(a^2;b^2;c^2\right)=\left(x^3;y^3;z^3\right)\) \(\Rightarrow xyz=1\)
Ta có BĐT quen thuộc: \(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\)
\(\Rightarrow P=\sum\frac{xyz}{x^3+y^3+xyz}\le\sum\frac{xyz}{xy\left(x+y\right)+xyz}=\sum\frac{z}{x+y+z}=1\)
\("="\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Ai có cách nào khác với anh Nguyễn Việt Lâm không mọi người ?
Agami Raito đề sai nha bạn, mình có đề khác cũng gần giống, bạn xem thử :
\(\frac{1}{a^3+b^3+1}+\frac{1}{b^3+c^3+1}+\frac{1}{a^3+c^3+1}\le1\)
Giả thiết như trên nhé
Ta có:\(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ac\right)\)
Để \(a^2+b^2+c^2=\frac{5}{3}\) thì \(ab+bc+ca=0\)
Mà \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{bc}{abc}+\frac{ca}{abc}+\frac{ab}{abc}=\frac{bc+ca+ab}{abc}\)
Thay ab + bc + ca = 0 vào,ta có: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{bc+ca+ab}{abc}=\frac{0}{abc}=0\)
Mà a,b,c > 0 nên abc > 0 do đó \(\frac{1}{abc}>0\) hay \(\frac{1}{abc}>\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\) hay \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}< \frac{1}{abc}\)
Suy ra đpcm.
\(\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}=\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{2\left(a+b+c\right)}{abc}}\)
\(=\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{2}{ab}+\frac{2}{bc}+\frac{2}{ca}}\)
\(=\sqrt{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}=\left|\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right|\)
Let \(\left(a;b;c\right)\rightarrow\left(\frac{yz}{x^2};\frac{xz}{y^2};\frac{xy}{z^2}\right)\) we have:
\(\frac{x^4}{y^2z^2+x^2yz+x^4}+\frac{y^4}{x^2z^2+xy^2z+y^4}+\frac{z^4}{x^2y^2+xyz^2+z^4}\ge1\left(○\right)\)
By Cauchy-Schwarz: \(L-H-S_{\left(○\right)}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{Σ_{cyc}x^4+Σ_{cyc}x^2yz+Σ_{cyc}y^2z^2}\)
Hence we need to prove: \(\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{Σ_{cyc}x^4+Σ_{cyc}x^2yz+Σ_{cyc}y^2z^2}\ge1\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\geΣ_{cyc}x^4+Σ_{cyc}x^2yz+Σ_{cyc}y^2z^2\)
\(\Leftrightarrow x^2yz+xyz^2+xy^2z\ge x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\)
Follow AM-GM's ineq, it's enough to prove the last ineq
The equality occurs when \(a=b=c=1\)
BĐT cần chứng minh tương đương:
\(\Leftrightarrow\frac{2}{2+a}+\frac{2}{2+b}+\frac{2}{2+c}\le2\)
\(\Leftrightarrow\frac{2}{2+a}-1+\frac{2}{2+b}-1+\frac{2}{2+c}-1\le2-3\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{a+2}+\frac{b}{b+2}+\frac{c}{c+2}\ge1\) (1)
Ta cần chứng minh (1)
Do \(abc=1\) nên tồn tại x;y;z sao cho: \(\left(a;b;c\right)=\left(\frac{x}{y};\frac{y}{z};\frac{z}{x}\right)\)
\(VT=\frac{x}{x+2y}+\frac{y}{y+2z}+\frac{z}{z+2x}=\frac{x^2}{x^2+2xy}+\frac{y^2}{y^2+2yz}+\frac{z^2}{z^2+2xz}\)
\(VT\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=1\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Giải thích giùm em từ dòng 4 xuống dòng 7 anh biến đổi vế trái như thế nào vậy ạ ?