Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a, Chứng minh ∆MEF:∆MOA
b, ∆MEF:∆MOA mà AO=OM => ME=EF
c, Chứng minh F là trực tâm của ∆SAB, AI là đường cao, chứng minh A,I,F thẳng hàng
d, FA.SM = 2 R 2
e, S M H O = 1 2 OH.MH ≤ 1 2 . 1 2 M O 2 = 1 4 R 2
=> M ở chính giữa cung AC
a: Sửa đề: \(EM\cdot AM=MF\cdot OA\)
\(\widehat{EMO}=\widehat{EMF}+\widehat{OMF}\)
=>\(\widehat{EMF}+\widehat{OMF}=90^0\)(1)
Xét (O) có
ΔAMB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔAMB vuông tại M
=>\(\widehat{AMO}+\widehat{FMO}=\widehat{AMF}=90^0\left(2\right)\)
Từ (1),(2) suy ra \(\widehat{EMF}=\widehat{AMO}\)
=>\(\widehat{EMF}=\widehat{OAM}\)
ΔMEO vuông tại M
=>\(\widehat{MEO}+\widehat{MOE}=90^0\)
=>\(\widehat{MEF}+\widehat{MOE}=90^0\)(3)
Ta có: OM nằm giữa OA và OE
=>\(\widehat{AOM}+\widehat{MOE}=90^0\)(4)
từ (3) và (4) suy ra \(\widehat{MEF}=\widehat{AOM}\)
Xét ΔMEF và ΔAOM có
\(\widehat{MEF}=\widehat{AOM}\)
\(\widehat{EMF}=\widehat{OAM}\)
Do đó: ΔMEF đồng dạng với ΔAOM
=>ME/AO=MF/AM
=>\(ME\cdot AM=AO\cdot MF\)
b: Xét (O) có
ΔAIB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔAIB vuông tại I
=>AI\(\perp\)SB
Xét ΔSAB có
BM,SO là đường cao
BM cắt SO tại F
Do đó; F là trực tâm
=>AF\(\perp\)SB
mà AI\(\perp\)SB(cmt)
và AF,AI có điểm chung là A
nên A,I,F thẳng hàng
4) Ta có: \(AM//PQ\)( cùng vuông góc với OC )
Xét tam giác COQ có: \(EM//OQ\)
\(\Rightarrow\frac{CE}{CO}=\frac{EM}{OQ}\)( hệ quả của định lý Ta-let ) (1)
Xét tam giác COP có: \(AE//OP\)
\(\Rightarrow\frac{CE}{CO}=\frac{AE}{OP}\)( hệ quả của định lý Ta-let ) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\frac{EM}{OQ}=\frac{AE}{OP}\)Mà AE=EM
\(\Rightarrow OQ=OP\)
Xét tam giác CPQ và tam giác COP có chung đường cao hạ từ C, đáy \(OP=\frac{PQ}{2}\)
\(\Rightarrow S_{\Delta CPQ}=2.S_{\Delta COP}\)
Ta có: \(S_{\Delta COP}=\frac{1}{2}OA.CP=\frac{1}{2}R.CP\)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác COP vuông tại O có đường cao OA ta có:
\(OA^2=CA.AP\)
Mà \(CA.AP\le\frac{\left(CA+AP\right)^2}{4}=\frac{PC^2}{4}\)( BĐT cô-si )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow AC=AP\)
\(\Rightarrow PC^2\ge4OA^2\)
\(\Rightarrow PC\ge2OA=2R\)
\(\Rightarrow S_{\Delta COP}\ge R^2\)
\(\Rightarrow S_{\Delta CPQ}\ge2R^2\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow AC=AP\)
Mà tam giác COP vuông tại O có đường cao OA
\(\Rightarrow AC=AP=OA=R\)
Khi đó áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác CAO vuông tại A ta được:
\(AC^2+AO^2=OC^2\)
\(\Rightarrow OC=\sqrt{AC^2+AO^2}=R\sqrt{2}\)
Vậy điểm C thuộc đường thẳng d sao cho \(OC=R\sqrt{2}\)thì diện tích tam giác CPQ nhỏ nhất
\(\text{a) Xét tứ giác ADMO có:}\)
∠DMO =90o (do M là tiếp tuyến của (O))
∠DAO =90o (do AD là tiếp tuyến của (O))
=> ∠DMO + ∠DAO = 180o
=> Tứ giác ADMO là tứ giác nội tiếp.
\(\text{b) Do D là giao điểm của 2 tiếp tuyến DM và DA nên OD là tia phân giác của ∠AOM}\)
=>(AOD = \(\frac{1}{2}\)∠AOM
Mặt khác ta có (ABM là góc nội tiếp chắn cung AM
=> ∠ABM = \(\frac{1}{2}\)∠AOM
=> ∠AOD = ∠ABM
Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị
=> OD // BM
Xét tam giác ABN có:
OM// BM; O là trung điểm của AB
=> D là trung điểm của AN
c) Ta có: ΔOBM cân tại O ;OE ⊥MB =>OE là đường trung trực của MB
=>EM = EB => ΔMEB cân tại E => ∠EMB = ∠MEB (1)
ΔOBM cân tại O => ∠OMB = ∠OBM (2)
Cộng (1) và (2) vế với vế, ta được:
∠EMB + ∠OMB = ∠MEB + ∠OBM ⇔ ∠EMO =∠EOB ⇔ ∠EOB =90o
=>OB ⊥ BE
Vậy BE là tiếp tuyến của (O).
d) Lấy điểm E trên tia OA sao cho OE = \(\frac{OA}{3}\)
Xét tam giác OAI có OI vừa là đường cao vừa là trung tuyến
=> Tam giác OAI cân tại I => IA = IB; ∠IBA = ∠IAB
Ta có:
\(\hept{\begin{cases}\widehat{IBA}=\widehat{IAB}\\\widehat{IBA}+\widehat{INA}=90^0\\\widehat{NAI}+\widehat{IAB}=\widehat{NAB}=90^0\end{cases}}\)
=> ∠NAI = ∠INA => ΔINA cân tại I => IA = IN
Tam giác NAB vuông tại A có: IA = IN = IB
=> IA là trung tuyến của tam giác NAB
Xét ΔBNA có:
IA và BD là trung tuyến; IA ∩ BD = {J}
=> J là trọng tâm của tam giác BNA
Xét tam giác AIO có:
\(\frac{\text{AJ}}{AI}=\frac{AE}{A0}=\frac{2}{3}\Rightarrow\text{JE}\text{//}OI\)
=> J nằm trên đường thẳng d vuông góc với AB và cách O một khoảng bằng R/3.
Phần đảo: Lấy điểm J' bất kì thuộc đường thẳng d
Do d// OI (cùng vuông góc AB) nên ta có:
\(\frac{\text{AJ}}{AI}=\frac{AE}{A0}\)
\(\text{MÀ}\frac{AE}{AO}=\frac{2}{3}\Rightarrow\frac{\text{AJ}}{AI}=\frac{2}{3}\)
AI là trung tuyến của tam giác NAB
=> J' là trọng tâm tam giác NAB
Vậy khi M di chuyển trên (O) thì J di chuyển trên đường thẳng d vuông góc với AB và cách O một khoảng là R/3.
HÌNH Ở TRONG THỐNG KÊ HỎI ĐÁP NHA
