Question

[Đặng Trần Thảo Vi]

Cho 3 số a,b,c nguyên thỏa mãn : a + b + c > 0 ; ab +bc + ca > 0 ; abc >0 . CMR : \(a,b,c\inℕ^∗\)

Answer 1

[the loser]

abc > 0 nên trog 3 số phải có ít nhất 1 số dương. 
Vì nếu giả sử cả 3 số đều âm => abc < 0 => trái giả thiết 
Vậy nên phải có ít nhất 1 số dương 

Không mất tính tổng quát, giả sử a > 0 
mà abc > 0 => bc > 0 
Nếu b < 0, c < 0: 
=> b + c < 0 
Từ gt: a + b + c < 0 
=> b + c > - a 
=> (b + c)^2 < -a(b + c) (vì b + c < 0) 
<=> b^2 + 2bc + c^2 < -ab - ac 
<=> ab + bc + ca < -b^2 - bc - c^2 
<=> ab + bc + ca < - (b^2 + bc + c^2) 
ta có: 
b^2 + c^2 >= 0 
mà bc > 0 => b^2 + bc + c^2 > 0 
=> - (b^2 + bc + c^2) < 0 
=> ab + bc + ca < 0 (vô lý) 
trái gt: ab + bc + ca > 0 

Vậy b > 0 và c >0 
=> cả 3 số a, b, c thuộc N*

Answer 2

[KWS]

Giả sử : Cả 3 số a,b,c đều âm , suy ra abc < 0 ( trái gt )

=> Có ít nhất một số dương trong 3 số a,b,c

Do a,b,c bình đẳng, không mất tính tổng quát :

Giả sử : \(a>0\), mà \(abc>0,\) suy ra \(bc>0\)

\(TH1:b< 0;c< 0\), suy ra : \(b+c< 0\)

Mà : \(a+b+c>0\left(gt\right)\) \(\Rightarrow b+c>-a\)

Do : \(b+c< 0\), suy ra : \(\left(b+c\right)^2< -a\left(b+c\right)\)

\(\Rightarrow b^2+2bc+c^2< -ab-ac\)

\(\Rightarrow ab+ac+bc< -b^2-2bc-c^2+bc\)

\(\Rightarrow ab+bc+ac< -b^2-bc-c^2=-\left(b^2+bc+c^2\right)\)

Do : \(b^2+c^2\ge0;bc>0\)

\(\Rightarrow b^2+bc+c^2>0\)

\(\Rightarrow-\left(b^2+bc+c^2\right)< 0\)

Mà : \(ab+bc+ac< -\left(b^2+bc+c^2\right)\)

\(\Rightarrow ab+bc+ac< -\left(b^2+bc+c^2\right)< 0\)

\(\Rightarrow ab+bc+ac< 0\)( trái giả thiết : ab + bc + ac > 0 )

Suy ra : b <0, c< 0 ( vô lý )

\(\Rightarrow b,c>0\Rightarrow a,b,c>0\Rightarrow a,b,c\inℕ^∗\left(đpcm\right)\)