K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

26 tháng 4 2017

Từ \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=2\Rightarrow\dfrac{a}{ab}+\dfrac{b}{ab}=2\Rightarrow\dfrac{a+b}{ab}=2\)

\(\Rightarrow2ab=a+b\ge2\sqrt{ab}\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}ab\ge1\\a+b\ge2\sqrt{ab}\ge2\end{matrix}\right.\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(a^4+b^2+2ab^2\ge2\sqrt{a^4b^2}+2ab^2=2a^2b+2ab^2\)

\(b^4+a^2+2a^2b\ge2\sqrt{a^2b^4}+2a^2b=2ab^2+2a^2b\)

\(\Rightarrow Q\le\dfrac{1}{2a^2b+2ab^2}+\dfrac{1}{2ab^2+2a^2b}\le\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=1\)

27 tháng 4 2017

Cảm ơn bạn

3 tháng 5 2019

\(2=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge2\sqrt{\frac{1}{ab}}\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{2}{\sqrt{ab}}\le2\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{ab}\le1\)

\(Q=\frac{1}{4}\left(\frac{4}{\left(a^2+b\right)^2}+\frac{4}{\left(a+b^2\right)^2}\right)\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a^2b}+\frac{1}{ab^2}\right)=\frac{1}{4ab}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\le\frac{1}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=1\)

... 

3 tháng 5 2019

Hằng đẳng thức sai rồi nha Quân eii , nhìn lại cái bậc của ẩn a,b ở 2 mẫu số đi -__ 

24 tháng 5 2019

\(\left(a+b\right)\left(a+b-1\right)=a^2+b^2\)

=> \(2ab=a+b\)

Mà \(2ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\)

=> \(a+b\ge2\)

Ta có

\(a^4+b^2\ge2a^2b\)

\(b^4+a^2\ge2ab^2\)

Khi đó \(Q\le\frac{1}{2ab\left(a+b\right)}+\frac{1}{2ab\left(a+b\right)}=\frac{2}{\left(a+b\right)^2}\le\frac{2}{2^2}=\frac{1}{2}\)

Vậy \(MaxQ=\frac{1}{2}\)khi a=b=1

Từ giả thiết \(1\le a\le2\) =>  ( a - 1).(a - 2) \(\le\) 0 =>\(a^2-3a+2\le0\)

Từ giả thiết \(1\le b\le2\) => (b - 1)( b - 2) \(\le\) 0 => \(a^2-3b+2\le0\)

Vì vậy ta có P:

\(=\left[a^2+b^2-3\left(a+b\right)+4\right]-\left(\sqrt{a}-\dfrac{1}{\sqrt{a}}\right)^2-\left(\dfrac{\sqrt{b}}{2}-\dfrac{1}{\sqrt{b}}\right)^2-3\le-3\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{a}=\dfrac{1}{\sqrt{q}}\\\dfrac{\sqrt{b}}{2}=\dfrac{1}{\sqrt{b}}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=2\end{matrix}\right.\)

Vậy a =1 ; b = 2 là giá trị lớn nhất của biểu thức

8 tháng 6 2021

Ta có: \(\left(a-b\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}a^2+2ab+b^2\ge4ab\\2\left(a^2+b^2\right)\ge a^2+2ab+b^2\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a^2+2ab+b^2\ge4ab\\2\left(a^2+b^2\right)\ge a^2+2ab+b^2\end{cases}}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\left(a+b\right)^2\ge4ab\left(1\right)\\\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\left(2\right)\end{cases}}\)

Theo đề bài:

\(a+b+3ab=1\)

\(\Leftrightarrow4\left(a+b\right)+12ab=4\)

\(\Leftrightarrow4\left(a+b\right)+3\left(a+b\right)^2\ge4\left(theo\left(1\right)\right)\)

\(\Leftrightarrow3\left(a+b\right)^2+4\left(a+b\right)-4\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+2\right)\left[3\left(a+b\right)-2\right]\ge0\)

\(\Leftrightarrow3\left(a+b\right)-2\ge0\left(a,b>0\Rightarrow a+b+2>0\right)\)

\(\Leftrightarrow a+b\ge\frac{2}{3}\)

`\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\ge\frac{4}{9}\left(theo\left(2\right)\right)\)

Áp dụng các kết quả trên, ta có:

\(\left(\sqrt{1-a^2}+\sqrt{1-b^2}\right)^2\le2\left(1-a^2+1-b^2\right)\)\(=4-2\left(a^2+b^2\right)\le4-\frac{4}{9}=\frac{32}{9}\)

\(\Rightarrow\sqrt{1-a^2}+\sqrt{1-b^2}\le\frac{4\sqrt{2}}{3}\)

Ta có: \(\frac{3ab}{a+b}=\frac{1-\left(a+b\right)}{a+b}=\frac{1}{a+b}-1\le\frac{1}{\frac{2}{3}}-1=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow A\le\frac{4\sqrt{2}}{3}+\frac{1}{2}\)

Dấu '=' xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}a=b\\a+b+3ab=1\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b\\3a^2+2a-1=0\end{cases}\Leftrightarrow}a=b=\frac{1}{3}\left(a,b>0\right)}\)

Vậy max A là \(\frac{4\sqrt{2}}{3}+\frac{1}{2}\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{3}\)

25 tháng 4 2020

Xét biểu thức \(\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}\)

\(=\frac{\left(a+2\right)\left(b+2\right)+\left(b+2\right)\left(c+2\right)+\left(c+2\right)\left(a+2\right)}{\left(a+2\right)\left(b+2\right)\left(c+2\right)}\)

\(=\frac{\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)+12}{abc+2\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)+8}\)

\(=\frac{\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)+12}{\left(abc+ab+bc+ca\right)+\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)+8}\)

\(=\frac{\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)+12}{4+\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)+8}\)(Do \(ab+bc+ca+abc=4\)theo giả thiết)

\(=\frac{\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)+12}{\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)+12}=1\)(***)

Với x,y dương ta có 2 bất đẳng thức phụ sau:

\(2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\)(*)

\(\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)(**)

Áp dụng (*) và (**), ta có:

\(\frac{1}{\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}+4}\le\frac{1}{a+b+4}=\frac{1}{\left(a+2\right)+\left(b+2\right)}\)

\(\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}\right)\)(1)

Tương tự ta có: \(\frac{1}{\sqrt{2\left(b^2+c^2\right)}+4}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}\right)\)(2)

\(\frac{1}{\sqrt{2\left(c^2+a^2\right)}+4}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{c+2}+\frac{1}{a+2}\right)\)(3)

Cộng từng vế của các bất đẳng thức (1), (2), (3), ta được:

\(P\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}\right)=\frac{1}{2}\)(theo (***))

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)

25 tháng 4 2020

Bạn bổ sung cho mình dòng cuối là a = b = c = 1 nhé!

13 tháng 6 2019

Khó 😩 hay suy nghỉ mà đau 🦁🦁🦁🦁

13 tháng 6 2019

\(\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}=\frac{\sqrt{bc}}{\sqrt{bc+a.abc}}=\frac{\sqrt{bc}}{\sqrt{bc+a\left(a+b+c\right)}}=\frac{\sqrt{bc}}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{a+c}\right)\)

Tương tự và cộng lại \(\Rightarrow P\le\frac{3}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\sqrt{3}\)