Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có:\(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=1\Rightarrow x+y+z=xyz\)
Dễ có một vài phép biến đổi cơ bản và bất đẳng thức AM - GM:\(\frac{x}{\sqrt{yz\left(1+x^2\right)}}=\frac{x}{\sqrt{yz+x^2yz}}=\frac{x}{\sqrt{yz+x\left(x+y+z\right)}}=\frac{x}{\sqrt{\left(x+z\right)\left(x+y\right)}}\)
\(=\sqrt{\frac{x}{x+z}\cdot\frac{x}{x+y}}\le\frac{\frac{x}{x+z}+\frac{x}{x+y}}{2}\)
Khi đó:\(LHS\le\frac{1}{2}\left(\frac{x}{x+y}+\frac{y}{x+y}+\frac{x}{x+z}+\frac{z}{x+z}+\frac{y}{z+y}+\frac{z}{z+y}\right)=\frac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra tại \(x=y=z=\sqrt{3}\)
\(A=\frac{1}{\sqrt{x^2-xy+y^2}}+\frac{1}{\sqrt{y^2-yz+z^2}}+\frac{1}{\sqrt{z^2-zx+x^2}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2}\left(x-y\right)^2+\frac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)}}+\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2}\left(y-z\right)^2+\frac{1}{2}\left(y^2+z^2\right)}}+\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2}\left(z-x\right)^2+\frac{1}{2}\left(z^2+x^2\right)}}\)
\(\le\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)}}+\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2}\left(y^2+z^2\right)}}+\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2}\left(z^2+x^2\right)}}\)
\(\le\frac{2}{x+y}+\frac{2}{y+z}+\frac{2}{z+x}\le\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\)
\(\text{Σ}\sqrt{\frac{xy}{xy+z}}=\text{Σ}\sqrt{\frac{xy}{xy\left(x+y+z\right)}}=\text{Σ}\sqrt{\frac{xy}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\)
\(\le\text{Σ}\left(\frac{\frac{x}{x+y}+\frac{y}{x+z}}{2}\right)=\frac{3}{2}\)
Dấu = xảy ra khi x=y=z=1/3
Bài 1:Áp dụng C-S dạng engel
\(\frac{3}{xy+yz+xz}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2}=\frac{6}{2\left(xy+yz+xz\right)}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2}\)
\(\ge\frac{\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^2>14\)
Ta đặt \(x=tanA;y=tanB;z=tanC\) với \(ABC\) là các góc tam giá từ đây cần c/m
\(sinA+sinB+sinC\le\frac{3\sqrt{3}}{2}\)
tài liệu c/m BĐT này đầy trên mạng bn có thể tham tham khảo
VD:Cm : sinA+sinB+sinC bé hơn hoặc bằng (3* căn3)/2? | Yahoo Hỏi & Đáp
Dự đoán khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\) thì ta tìm được \(P=\frac{3\sqrt{3}}{2}\)
Ta sẽ chứng minh nó là GTNN
Thật vậy, ta cần chứng minh
\(Σ\frac{1}{\sqrt{x^2+xy+xz+yz}}\le\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{xy+xz+yz}}\left(xy+yz+xz=1\right)\)
\(\LeftrightarrowΣ\sqrt{x+y}\le\frac{3\sqrt{3\left(x+y\right)\left(x+z\right)\left(y+z\right)}}{2\sqrt{xy+xz+yz}}\)
Nhưng theo BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\left(Σ\sqrt{x+y}\right)^2\le\left(1+1+1\right)Σ\left(x+y\right)=6\left(x+y+z\right)\)
Như vậy, ta còn phải chứng minh :
\(\sqrt{6\left(x+y+z\right)}\le\frac{3\sqrt{3\left(x+y\right)\left(x+z\right)\left(y+z\right)}}{2\sqrt{xy+xz+yz}}\)
\(\Leftrightarrow9\left(x+y\right)\left(x+z\right)\left(y+z\right)\ge8\left(x+y+z\right)\left(xy+xz+yz\right)\)
\(\LeftrightarrowΣz\left(x-y\right)^2\ge0\) luôn đúng. Nên \(P_{Min}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(P=\frac{\sqrt{1+x^2+y^2}}{xy}+\frac{\sqrt{1+y^2+z^2}}{yz}+\frac{\sqrt{1+z^2+x^2}}{zx}\)
\(\ge\text{Σ}\frac{\sqrt{\frac{\left(1+x+y\right)^2}{3}}}{xy}\text{=}\frac{1+x+y}{xy\sqrt{3}}\)
\(=\frac{\sqrt{3}}{3}\left(\frac{1+x+y}{xy}+\frac{1+y+z}{yz}+\frac{1+z+x}{zx}\right)\)
\(=\frac{\sqrt{3}}{3}\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\right)\)
\(=\frac{\sqrt{3}}{3}\left(x+y+z+2xy+2yz+2zx\right)\)\(\ge\frac{\sqrt{3}}{3}\left(3\sqrt[3]{xyz}+2\cdot3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}\right)=\frac{\sqrt{3}}{3}\left(3+6\right)=3\sqrt{3}\)
Dấu = xảy ra khi \(x=y=z=1\)
Ta có:
\(2x^2+xy+2y^2=x^2+y^2+\frac{3}{4}\left(x+y\right)^2+\frac{1}{4}\left(x-y\right)^2\)
\(\ge\frac{2\left(x+y\right)^2}{4}+\frac{3\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{5\left(x+y\right)^2}{4}\)
\(\Rightarrow\sqrt{2x^2+xy+2y^2}\ge\frac{\sqrt{5}}{2}\left(x+y\right)\). Tương tự ta có:
\(\sqrt{2y^2+yz+2z^2}\ge\frac{\sqrt{5}}{2}\left(y+z\right);\sqrt{2z^2+xz+2x^2}\ge\frac{\sqrt{5}}{2}\left(x+z\right)\)
\(\Rightarrow M\ge\frac{\sqrt{5}}{2}\left(x+y\right)+\frac{\sqrt{5}}{2}\left(y+z\right)+\frac{\sqrt{5}}{2}\left(x+z\right)\)
\(=\sqrt{5}\left(x+y+z\right)=\sqrt{5}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
Cho mình hối tại sao đẳng thức sảy ra x=y=z=1/3 vậy
\(xy+yz+zx+2xyz=1\)
\(\Leftrightarrow2xy+2yz+2zx+2x+2y+2z+2=xy+yz+zx+2x+2y+2z+3\)
\(\Leftrightarrow2\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)=\left(x+1\right)\left(y+1\right)+\left(y+1\right)\left(z+1\right)+\left(z+1\right)\left(x+1\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}=2\)
\(\Rightarrow2\ge\frac{9}{x+y+z+3}\Rightarrow x+y+z\ge\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge\frac{1}{3}\left(x+y+z\right)^2\ge\frac{3}{4}\)
\(P^2\le3\left[3-\left(x^2+y^2+z^2\right)\right]\le3\left(3-\frac{3}{4}\right)=\frac{27}{4}\)
\(\Rightarrow P\le\frac{3\sqrt{3}}{2}\)
\(P_{max}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\) khi \(x=y=z=\frac{1}{2}\)