Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(I_1=\int\limits^2_0f\left(2x\right)dx\)
Đặt \(2x=t\Rightarrow dx=\frac{dt}{2}\) ; \(\left\{{}\begin{matrix}x=0\Rightarrow t=0\\x=2\Rightarrow t=4\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I_1=\int\limits^4_0f\left(t\right).\frac{dt}{2}=\frac{1}{2}\int\limits^4_0f\left(t\right)dt=\frac{1}{2}\int\limits^4_0f\left(x\right)dx=\frac{1}{2}.2018=1009\)
\(I_2=\int\limits^2_{-2}f\left(2-x\right)dx\)
Đặt \(2-x=t\Rightarrow dx=-dt\); \(\left\{{}\begin{matrix}x=-2\Rightarrow t=4\\x=2\Rightarrow t=0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I_2=\int\limits^0_4f\left(t\right).\left(-dt\right)=\int\limits^4_0f\left(t\right)dt=\int\limits^4_0f\left(x\right)dx=2018\)
\(\Rightarrow I=I_1+I_2=1009+2018=3027\)
Nhìn đề dữ dội y hệt cr của tui z :( Để làm từ từ
Lập bảng xét dấu cho \(\left|x^2-1\right|\) trên đoạn \(\left[-2;2\right]\)
| x | -2 | -1 | 1 | 2 |
| \(x^2-1\) | 0 | 0 |
\(\left(-2;-1\right):+\)
\(\left(-1;1\right):-\)
\(\left(1;2\right):+\)
\(\Rightarrow I=\int\limits^{-1}_{-2}\left|x^2-1\right|dx+\int\limits^1_{-1}\left|x^2-1\right|dx+\int\limits^2_1\left|x^2-1\right|dx\)
\(=\int\limits^{-1}_{-2}\left(x^2-1\right)dx-\int\limits^1_{-1}\left(x^2-1\right)dx+\int\limits^2_1\left(x^2-1\right)dx\)
\(=\left(\dfrac{x^3}{3}-x\right)|^{-1}_{-2}-\left(\dfrac{x^3}{3}-x\right)|^1_{-1}+\left(\dfrac{x^3}{3}-x\right)|^2_1\)
Bạn tự thay cận vô tính nhé :), hiện mình ko cầm theo máy tính
2/ \(I=\int\limits^e_1x^{\dfrac{1}{2}}.lnx.dx\)
\(\left\{{}\begin{matrix}u=lnx\\dv=x^{\dfrac{1}{2}}\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=\dfrac{dx}{x}\\v=\dfrac{2}{3}.x^{\dfrac{3}{2}}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=\dfrac{2}{3}.x^{\dfrac{3}{2}}.lnx|^e_1-\dfrac{2}{3}\int\limits^e_1x^{\dfrac{1}{2}}.dx\)
\(=\dfrac{2}{3}.x^{\dfrac{3}{2}}.lnx|^e_1-\dfrac{2}{3}.\dfrac{2}{3}.x^{\dfrac{3}{2}}|^e_1=...\)
\(3\int\limits^1_0\left[f'\left(x\right).f^2\left(x\right)+\frac{1}{9}\right]dx\le2\int\limits^1_0\sqrt{f'\left(x\right)}f\left(x\right)dx\) (1)
Ta lại có:
\(3f'\left(x\right).f^2\left(x\right)+\frac{1}{3}\ge2\sqrt{f'\left(x\right)}.f\left(x\right)\)
\(\Rightarrow3\int\limits^1_0\left[f'\left(x\right).f^2\left(x\right)+\frac{1}{9}\right]\ge2\int\limits^1_0\sqrt{f'\left(x\right)}.f\left(x\right)dx\) (2)
Từ (1); (2) \(\Rightarrow3\int\limits^1_0\left[f'\left(x\right).f^2\left(x\right)+\frac{1}{9}\right]dx=2\int\limits^1_0\sqrt{f'\left(x\right)}.f\left(x\right)dx\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:
\(3f'\left(x\right).f^2\left(x\right)=\frac{1}{3}\Rightarrow3\int f'\left(x\right).f^2\left(x\right)dx=\int\frac{1}{3}dx\)
\(\Rightarrow f^3\left(x\right)=\frac{x}{3}+C\)
Thay \(x=0\Rightarrow f^3\left(0\right)=C\Rightarrow C=1\)
\(\Rightarrow f^3\left(x\right)=\frac{x}{3}+1\Rightarrow\int\limits^1_0f^3\left(x\right)dx=\int\limits^1_0\left(\frac{x}{3}+1\right)dx=\frac{7}{6}\)
Đang học Lý mà thấy bài nguyên hàm hay hay nên nhảy vô luôn :b
\(I_1=\int\limits^1_0xf\left(x\right)dx\)
\(\left\{{}\begin{matrix}u=f\left(x\right)\\dv=xdx\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=f'\left(x\right)dx\\v=\dfrac{1}{2}x^2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\int xf\left(x\right)dx=\dfrac{1}{2}x^2f\left(x\right)-\dfrac{1}{2}\int x^2f'\left(x\right)dx\)
\(\Rightarrow\int\limits^1_0xf\left(x\right)dx=\dfrac{1}{2}x^2|^1_0-\dfrac{1}{2}\int\limits^1_0x^2f'\left(x\right)dx=\dfrac{1}{5}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}\int\limits^1_0\left[f'\left(x\right)\right]^2dx=\dfrac{3}{10}\Rightarrow\int\limits^1_0x^2f'\left(x\right)dx=\dfrac{3}{5}\)
Đoạn này hơi rối xíu, ông để ý kỹ nhé, nhận thấy ta có 2 dữ kiện đã biết, là: \(\int\limits^1_0\left[f'\left(x\right)\right]^2dx=\dfrac{9}{5}and\int\limits^1_0x^2f'\left(x\right)dx=\dfrac{3}{5}\) có gì đó liên quan đến hằng đẳng thức, nên ta sẽ sử dụng luôn
\(\int\limits^1_0\left[f'\left(x\right)+tx^2\right]^2dx=0\)
\(\Leftrightarrow\int\limits^1_0\left[f'\left(x\right)\right]^2dx+2t\int\limits^1_0x^2f'\left(x\right)dx+t^2\int\limits^1_0x^4dx=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{9}{5}+\dfrac{6}{5}t+\dfrac{1}{5}t^2=0\) \(\left(\int\limits^1_0x^4dx=\dfrac{1}{5}x^5|^1_0=\dfrac{1}{5}\right)\)\(\)\(\Leftrightarrow t=-3\Rightarrow\int\limits^1_0\left[f'\left(x\right)-3x^2\right]^2dx=0\)
\(\Leftrightarrow f'\left(x\right)=3x^2\Leftrightarrow f\left(x\right)=x^3+C\)
\(\Rightarrow\int\limits^1_0f\left(x\right)dx=\int\limits^1_0x^3dx=\dfrac{1}{4}x^4|^1_0=\dfrac{1}{4}\)
P/s: Có gì ko hiểu hỏi mình nhé !
Nhớ bổ đề này: \(\int\limits^b_af\left(x\right)dx=\int\limits^b_af\left(a+b-x\right)dx\) . Chứng minh thì đơn giản th nên bạn tự chứng minh
\(S_2=\int\limits^2_{-1}f\left(x\right)dx\)
\(S_1=\int\limits^2_{-1}xf\left(x\right)dx=\int\limits^2_{-1}\left(1-x\right)f\left(1-x\right)dx=\int\limits^2_{-1}f\left(x\right)dx-\int\limits^2_{-1}xf\left(x\right)dx\)
\(\Leftrightarrow2\int\limits^2_{-1}xf\left(x\right)dx=\int\limits^2_{-1}f\left(x\right)dx\Leftrightarrow2S_1=S_2\)
Xét \(I=\int\limits^1_0x.f\left(3x\right)dx\)
Đặt \(3x=u\Rightarrow dx=\dfrac{1}{3}du\) ; \(\left\{{}\begin{matrix}x=0\Rightarrow u=0\\x=1\Rightarrow u=3\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=\dfrac{1}{9}\int\limits^3_0u.f\left(u\right)du=\dfrac{1}{9}\int\limits^3_0x.f\left(x\right)dx=1\)
\(\Rightarrow J=\int\limits^3_0x.f\left(x\right)dx=9\)
Xét J, đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=f\left(x\right)\\dv=x.dx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=f'\left(x\right)dx\\v=\dfrac{x^2}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow J=\dfrac{x^2}{2}.f\left(x\right)|^3_0-\dfrac{1}{2}\int\limits^3_0x^2.f'\left(x\right)dx=\dfrac{9}{2}-\dfrac{1}{2}\int\limits^3_0x^2.f'\left(x\right)dx\)
\(\Rightarrow\int\limits^3_0x^2.f'\left(x\right)dx=9-2J=-9\)
Câu 6:
Hoành độ giao điểm: \(\sqrt{1-x^2}=0\Leftrightarrow x=\pm1\)
\(\Rightarrow V=\pi\int\limits^1_{-1}\left(1-x^2\right)dx=\frac{4}{3}\pi\)
// Hoặc là tư duy theo 1 cách khác, biến đổi pt ban đầu ta có:
\(y=\sqrt{1-x^2}\Leftrightarrow y^2=1-x^2\Leftrightarrow x^2+y^2=1\)
Đây là pt đường tròn tâm O bán kính \(R=1\Rightarrow\) khi quay quanh Ox ta sẽ được một mặt cầu bán kính \(R=1\Rightarrow V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi\)
Câu 7: Về bản chất, đây là 1 con tích phân sai, không thể tính được, do trên miền \(\left[\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{2}\right]\) hàm dưới dấu tích phân không xác định tại \(x=\frac{\pi}{3}\) và \(x=\frac{2\pi}{3}\), nhưng nhắm mắt làm ngơ với lỗi ra đề sai đó và ta cứ mặc kệ nó, không quan tâm cứ máy móc áp dụng thì tính như sau:
Biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân 1 chút trước:
\(\frac{sin^2x}{sin3x}=\frac{sin^2x}{3sinx-4sin^3x}=\frac{sinx}{3-4sin^2x}=\frac{sinx}{3-4\left(1-cos^2x\right)}=\frac{sinx}{4cos^2x-1}\)
\(\Rightarrow I=\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_{\frac{\pi}{6}}\frac{sinx.dx}{4cos^2x-1}\Rightarrow\) đặt \(cosx=t\Rightarrow sinx.dx=-dt\)
\(\Rightarrow I=\int\limits^0_{\frac{\sqrt{3}}{2}}\frac{-dt}{4t^2-1}=\int\limits^{\frac{\sqrt{3}}{2}}_0\frac{dt}{\left(2t-1\right)\left(2t+1\right)}=\frac{1}{2}\int\limits^{\frac{\sqrt{3}}{2}}_0\left(\frac{1}{2t-1}-\frac{1}{2t+1}\right)dt\)
\(I=\frac{1}{4}ln\left|\frac{2t-1}{2t+1}\right|^{\frac{\sqrt{3}}{2}}_0=\frac{1}{4}ln\left(\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}\right)=\frac{1}{4}ln\left(2-\sqrt{3}\right)\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=4\\b=2\\c=-1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a+2b+3c=5\)
Câu 8:
\(f\left(x\right)=\int\frac{1}{2x-1}dx=\frac{1}{2}\int\frac{d\left(2x-1\right)}{2x-1}=\frac{1}{2}ln\left|2x-1\right|+C\)
\(f\left(1\right)=1\Leftrightarrow\frac{1}{2}ln1+C=1\Rightarrow C=1\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)=\frac{1}{2}ln\left|2x-1\right|+1\Rightarrow f\left(5\right)=\frac{1}{2}ln9+1=ln3+1\)
Câu 4:
\(I=\int\limits^1_{-1}f\left(x\right)dx=\int\limits^0_{-1}f\left(x\right)dx+\int\limits^1_0f\left(x\right)dx\)
Do \(f\left(x\right)\) là hàm chẵn \(\Rightarrow f\left(x\right)=f\left(-x\right)\) \(\forall x\)
Đặt \(x=-t\Rightarrow dx=-dt;\left\{{}\begin{matrix}x=-1\Rightarrow t=1\\x=0\Rightarrow t=0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\int\limits^0_{-1}f\left(x\right)dx=\int\limits^0_1f\left(t\right).\left(-dt\right)=\int\limits^1_0f\left(t\right)dt=\int\limits^1_0f\left(x\right)dx\)
\(\Rightarrow I=\int\limits^1_0f\left(x\right)dx+\int\limits^1_0f\left(x\right)dx=2\int\limits^1_0f\left(x\right)dx=2\)
\(\Rightarrow\int\limits^1_0f\left(x\right)dx=1\)
Câu 5: Theo tính chất tích phân ta có:
\(\int\limits^{10}_0f\left(x\right)dx=\int\limits^2_0f\left(x\right)dx+\int\limits^6_2f\left(x\right)dx+\int\limits^{10}_6f\left(x\right)dx\)
\(\Rightarrow\int\limits^2_0f\left(x\right)dx+\int\limits^{10}_6f\left(x\right)dx=\int\limits^{10}_0f\left(x\right)dx-\int\limits^6_2f\left(x\right)dx=7-3=4\)
Đặt \(3-2x=t\Rightarrow dx=-\frac{1}{2}dt\) ; \(\left\{{}\begin{matrix}x=0\Rightarrow t=3\\x=2\Rightarrow t=-1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow P=\int\limits^{-1}_3\left[f\left(t\right)+2019\right].\left(-\frac{1}{2}\right)dt=\frac{1}{2}\int\limits^3_{-1}f\left(t\right)dt+\int\limits^3_{-1}\frac{2019}{2}dt\)
\(=\frac{15}{2}+\frac{2019}{2}.4=\frac{8091}{2}\)