Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1) Ta có bđt sau : \(\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}< \sqrt{\frac{a+b}{2}}\) (bạn tự c/m)
Áp dụng : \(\frac{\sqrt{2005}+\sqrt{2007}}{2}< \sqrt{\frac{2005+2007}{2}}\)
\(\Rightarrow\sqrt{2005}+\sqrt{2007}< 2\sqrt{2006}\)
2) Xét : \(A-B=2\sqrt{2014}-\left(\sqrt{2013}+\sqrt{2015}\right)\)
Theo câu 1) , ta dễ dàng c/m được \(2\sqrt{2014}>\sqrt{2013}+\sqrt{2015}\)
Do đó A - B > 0 => A > B
2) Bình phương 2 vế ta có:
\(A^2=2014-2013=1\)
\(B^2=2015-2014=1\)
=>A=B
Nhân cả 2 với (\(\sqrt{2015^2-1}\)+\(\sqrt{2014^2-1}\))
A = 2015^2 -1 -2014^2 + 1 = (2014 + 1)^2 -2014^2 = 2.2014 + 1
B = 2.2014
=> A = B + 1
\(\sqrt{2007}-\sqrt{2006}=\frac{\sqrt{2007}-\sqrt{2006}}{2007-2006}=\frac{\sqrt{2007}-\sqrt{2006}}{\left(\sqrt{2007}-\sqrt{2006}\right)\left(\sqrt{2007}+\sqrt{2006}\right)}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{2007}+\sqrt{2006}}< \frac{1}{\sqrt{2006}+\sqrt{2006}}=\frac{1}{2\sqrt{2006}}\)
Vậy \(\sqrt{2007}-\sqrt{2006}< \frac{1}{2\sqrt{2006}}\)
Bạn áp dùng biểu thức liên hợp là được
Ta có :
\(\sqrt{2007}-\sqrt{2006}=\frac{1}{\sqrt{2007}+\sqrt{2006}}\)(1)
\(\frac{1}{2\sqrt{2006}}=\frac{1}{\sqrt{2006}+\sqrt{2006}}\)(2)
Từ (1)(2)=>\(\frac{1}{\sqrt{2007}+\sqrt{2006}}< \frac{1}{\sqrt{2006}+\sqrt{2006}}\)
\(\Rightarrow\sqrt{2007}-\sqrt{2006}>\frac{1}{2\sqrt{2006}}\)
Bài 2:
\(D=\frac{1}{2\sqrt{1}+1\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+\frac{1}{4\sqrt{3}+3\sqrt{4}}+...+\frac{1}{120\sqrt{121}+121\sqrt{120}}\)
Với mọi \(n\inℕ^∗\)ta có:
\(\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}\)
\(=\frac{\left(n+1\right)\sqrt{n}-n\sqrt{n+1}}{[\left(n+1\right)\sqrt{n}]^2-\left(n\sqrt{n+1}\right)^2}\)
\(=\frac{\left(n+1\right)\sqrt{n}-n\sqrt{n+1}}{n\left(n+1\right)^2-n^2\left(n+1\right)}\)
\(=\frac{\left(n+1\right)\sqrt{n}-n\left(\sqrt{n}+1\right)}{n\left(n+1\right)\left(n+1-n\right)}\)
\(=\frac{\left(n+1\right)\sqrt{n}-n\sqrt{n+1}}{n\left(n+1\right)}\)
\(=\frac{\left(n+1\right)\sqrt{n}}{n\left(n+1\right)}-\frac{n\sqrt{n+1}}{n\left(n+1\right)}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\)
\(\Rightarrow D=\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{4}}+....+\frac{1}{\sqrt{120}}-\frac{1}{\sqrt{121}}\)
\(=1-\frac{1}{\sqrt{121}}=\frac{10}{11}\)
Bài 1: chắc lại phải "liên hợp" gì đó rồi:V
\(\sqrt{2009}-\sqrt{2008}=\frac{1}{\sqrt{2009}+\sqrt{2008}}\)
\(\sqrt{2007}-\sqrt{2006}=\frac{1}{\sqrt{2007}+\sqrt{2006}}\)
Đó \(\sqrt{2009}+\sqrt{2008}>\sqrt{2007}+\sqrt{2006}\)
Nên \(\sqrt{2009}-\sqrt{2008}< \sqrt{2007}-\sqrt{2006}\)
Tổng quát ta có bài toán sau, với So sánh \(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\text{ và }\sqrt{n-2}-\sqrt{n-3}\)
Với \(n\ge3\). Lời giải xin mời các bạn:)
\(b,\) Ta có:
\(\dfrac{1}{n\sqrt{n-1}+\left(n-1\right)\sqrt{n}}\\ =\dfrac{1}{\sqrt{n}.\sqrt{n-1}\left(\sqrt{n}+\sqrt{n-1}\right)}\\ =\dfrac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}.\sqrt{n-1}}-\dfrac{\sqrt{n-1}}{\sqrt{n}.\sqrt{n-1}}\\ =\dfrac{1}{\sqrt{n-1}}-\dfrac{1}{\sqrt{n}}\)
Thay:
\(n=2\) \(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2\sqrt{1}+1\sqrt{2}}=\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)
\(n=3\Leftrightarrow\dfrac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
\(...\)
\(n=2007\Leftrightarrow\dfrac{1}{2007\sqrt{2006}+2006\sqrt{2007}}=\dfrac{1}{\sqrt{2006}}-\dfrac{1}{\sqrt{2007}}\\ \)
b) \(\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\sqrt{2006}+\sqrt{2007}}\)
\(=\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+...+\sqrt{2007}-\sqrt{2006}\)
\(=\sqrt{2007}-1\)
b, Ta có \(2015^2=\left(2014+1\right)^2=2014^2+2.2014+1\)
=> \(2014^2+1=2015^2-2.2014\)
=> \(B=\sqrt{1+2014^2+\frac{2014^2}{2015^2}}+\frac{2014}{2015}\)
= \(\sqrt{2015^2-2.2014+\frac{2014^2}{2015^2}}+\frac{2014}{2015}\)
= \(\sqrt{\left(2015-\frac{2014}{2015}\right)^2}+\frac{2014}{2015}\) = \(2015-\frac{2014}{2015}+\frac{2014}{2015}=2015\)
=> đpcm
