Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đề bài sai
Đề đúng: \(\dfrac{1}{\sqrt{a}+2\sqrt{b}+3}+\dfrac{1}{\sqrt{b}+2\sqrt{c}+3}+\dfrac{1}{\sqrt{c}+2\sqrt{a}+3}\le\dfrac{1}{2}\)
Ta có \(a+b^2\le\dfrac{a^2+1}{2}+b^2=\dfrac{a^2+2b^2+1}{2}\)
\(\Rightarrow\dfrac{2a^2}{a+b^2}\ge\dfrac{4a^2}{a^2+2b^2+1}=\dfrac{4a^4}{a^4+2b^2a^2+a^2}\). Lập 2 BĐT tương tự rồi áp dụng bất đẳng thức BCS, ta có:
\(\dfrac{2a^2}{a+b^2}+\dfrac{2b^2}{b+c^2}+\dfrac{2c^2}{c+a^2}\ge\dfrac{\left(2a^2+2b^2+2c^2\right)^2}{a^4+b^4+c^4+2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)+a^2+b^2+c^2}\) \(=\dfrac{4\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2+3}\)\(=\dfrac{4.3^2}{3^2+3}=3\).
Mà \(a+b+c\le\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}=3\) nên ta có đpcm. ĐTXR \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số dương ta có:
(a2 + b2) + (b2 + c2) + (c2 + a2) ≥ 2ab + 2bc + 2ca
=> 2(a2 + b2 + c2 ) ≥ 2 (ab + bc + ca) (1) (a2 + 1) + (b2 + c2) + (c2 + a2) ≥ 2a + 2b + 2c
=> a2 + b2 + c2 + 3 ≥ 2(a + b + c) (2)
Cộng các vế của (1) và (2) ta có:
3 ( a2 + b2 + c2 ) + 3 ≥ 2 (ab + bc + ca + a + b + c)
=> 3( a2 + b2 + c2 ) + 3 ≥ 12 => a2 + b2 + c2 ≥ 3.
Ta có: (a^3/b + ab ) + ( b^3/c + bc ) + ( c^3/a + ca)≥ 2(a2 + b2 + c2) (CÔ SI)
<=>a^3/b + b^3/c + c^3/a +ab + bc + ac ≥ 2(a2 + b2 + c2)
Vì a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca => a^3 + b^3 + c^3 ≥ a2 + b2 + c2 ≥ 3 (đpcm).
Áp dụng bất đẳng thức cô-si cho hai số dương ta có:
\(\left(a^2+b^2\right)+\left(b^2+c^2\right)+\left(c^2+a^2\right)\ge2ab+2bc+2ca\)
\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\) (1)
\(\left(a^2+b^2\right)+\left(b^2+c^2\right)+\left(c^2+a^2\right)\ge2a+2b+2c\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+3\ge2\left(a+b+c\right)\) (2)
Cộng (1) với (2)
\(3\left(a^2+b^2+c^2\right)+3\ge2\left(ab+bc+ca+a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)+3\ge12\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge3\)
Ta có: \(\left(\dfrac{a^3}{b}+ab\right)+\left(\dfrac{b^3}{c}+bc\right)+\left(\dfrac{c^3}{a}+ca\right)\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}+ab+bc+ca\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
Vì \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\Rightarrow\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}\ge a^2+b^2+c^2\ge3\) (đpcm).
\(\sum\dfrac{a}{\sqrt{ab+b^2}}=\sum\dfrac{a\sqrt{2}}{\sqrt{2b\left(a+b\right)}}\ge\sum\dfrac{2\sqrt{2}a}{2b+a+b}=2\sqrt{2}\sum\dfrac{a}{a+3b}\)
\(=2\sqrt{2}\sum\dfrac{a^2}{a^2+3ab}\ge\dfrac{2\sqrt{2}\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+3\left(ab+bc+ca\right)}\)
\(=\dfrac{2\sqrt{2}\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2+ab+bc+ca}\ge\dfrac{2\sqrt{2}\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2+\dfrac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\)
Lời giải:
$\text{VT}=\sum \frac{a^2}{a+b^2}=\sum (a-\frac{ab^2}{a+b^2})$
$=\sum a-\sum \frac{ab^2}{a+b^2}$
$\geq \sum a-\sum \frac{ab^2}{2b\sqrt{a}}$ (theo BĐT AM-GM)
$=\sum a-\frac{1}{2}\sum \sqrt{ab^2}$
$\geq \sum a-\frac{1}{2}\sum \frac{ab+b}{2}$ (AM-GM)
$=\frac{3}{4}\sum a-\frac{1}{4}\sum ab$
Giờ ta chỉ cần cm $\sum a\geq \sum ab$ là bài toán được giải quyết
Thật vậy:
Đặt $\sum ab=t$ thì hiển nhiên $0< t\leq 3$ theo BĐT AM-GM
$(\sum a)^2-(\sum ab)^2=3+2t-t^2=(3-t)(t+1)\geq 0$ với mọi $0< t\leq 3$
$\Rightarrow \sum a\geq \sum ab$
Vậy ta có đcpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
\(\dfrac{a^3}{\left(b+1\right)\left(c+2\right)}+\dfrac{b+1}{12}+\dfrac{c+2}{18}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{a^3\left(b+1\right)\left(c+2\right)}{216\left(b+1\right)\left(c+2\right)}}=\dfrac{a}{2}\)
Tương tự: \(\dfrac{b^3}{\left(c+1\right)\left(a+2\right)}+\dfrac{c+1}{12}+\dfrac{a+2}{18}\ge\dfrac{b}{2}\)
\(\dfrac{c^3}{\left(a+1\right)\left(b+2\right)}+\dfrac{a+1}{12}+\dfrac{b+2}{18}\ge\dfrac{c}{2}\)
Cộng vế:
\(VT+\dfrac{5}{36}\left(a+b+c\right)+\dfrac{7}{12}\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{13}{36}\left(a+b+c\right)-\dfrac{7}{12}\ge\dfrac{13}{36}.3\sqrt[3]{abc}-\dfrac{7}{12}=\dfrac{1}{2}\) (đpcm)
Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương \(\dfrac{a^3}{b^2}\) và \(a\), ta có
\(\dfrac{a^3}{b^2}+a\ge2\sqrt{\dfrac{a^3}{b^2}.a}=2.\dfrac{a^2}{b}\)
Tương tự, ta có \(\dfrac{b^3}{c^2}+b\ge2.\dfrac{b^2}{c}\) và \(\dfrac{c^3}{a^2}+c\ge2.\dfrac{c^2}{a}\)
Cộng vế theo vế của các BĐT vừa tìm được, ta có:
\(\left(\dfrac{a^3}{b^2}+\dfrac{b^3}{c^2}+\dfrac{c^3}{a^2}\right)+\left(a+b+c\right)\ge2.\left(\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\right)\)\(\Leftrightarrow\dfrac{a^3}{b^2}+\dfrac{b^3}{c^2}+\dfrac{c^3}{a^2}\ge2\left(\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\right)-\left(a+b+c\right)\) (1)
Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương \(b\) và \(\dfrac{a^2}{b}\), ta có:
\(\dfrac{a^2}{b}+b\ge2\sqrt{\dfrac{a^2}{b}.b}=2a\)
Tương tự, ta có \(\dfrac{b^2}{c}+c\ge2b\) và \(\dfrac{c^2}{a}+a\ge2c\)
Từ đó ta có \(\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}+a+b+c\ge2a+2b+2c\) \(\Leftrightarrow a+b+c\le\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\)
Do đó, ta có \(2\left(\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\right)-\left(a+b+c\right)\ge2\left(\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\right)-\left(\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\right)\)\(=\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra đpcm. Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)