K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

AH
Akai Haruma
Giáo viên
16 tháng 7 2020

Lời giải:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky ta có:

$(x\sqrt{y-1}+y\sqrt{x-1})^2=(\sqrt{x}.\sqrt{xy-x}+\sqrt{y}.\sqrt{yx-y})^2$

$\leq (x+y)(xy-x+xy-y)\leq \left(\frac{x+y+xy-x+xy-y}{2}\right)^2=(xy)^2$

$\Rightarrow x\sqrt{y-1}+y\sqrt{x-1}\leq xy$ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=2$

NV
16 tháng 7 2020

\(x.1.\sqrt{y-1}+y.1.\sqrt{x-1}\le\frac{x}{2}\left(1+y-1\right)+\frac{y}{2}\left(1+x-1\right)=xy\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=2\)

20 tháng 12 2015

Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có

\(\sqrt{y-1}=\sqrt{\left(y-1\right).1}\le\frac{y-1+1}{2}=\frac{y}{2}\)

=>\(x\sqrt{y-1}\le\frac{xy}{2}\)

Áp dụng BĐT cô si ta có

\(\sqrt{x-1}=\sqrt{\left(x-1\right).1}\le\frac{x-1+1}{2}=\frac{x}{2}\)

=>\(y\sqrt{x-1}+x\sqrt{y-1}\le\frac{xy}{2}+\frac{xy}{2}=xy\)

Dấu ''='' xảy ra <=>x=y=1

10 tháng 10 2016

Áp dụng bđt Cauchy : \(\sqrt{\left(y-1\right).1}\le\frac{y-1+1}{2}=\frac{y}{2}\Rightarrow x\sqrt{y-1}\le\frac{xy}{2}\)

\(\sqrt{\left(x-1\right).1}\le\frac{x-1+1}{2}=\frac{x}{2}\Rightarrow y\sqrt{x-1}\le\frac{xy}{2}\)

Cộng hai BĐT trên theo vế ta có đpcm

10 tháng 10 2016

cảm ơn nhiều nha

NV
22 tháng 12 2022

Đặt vế trái của BĐT cần chứng minh là P

Ta có:

\(P=\dfrac{\sqrt{xy+\left(x+y+z\right)z}+\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}}{1+\sqrt{xy}}=\dfrac{\sqrt{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}+\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}}{1+\sqrt{xy}}\)

\(P\ge\dfrac{\sqrt{\left(\sqrt{xy}+z\right)^2}+\sqrt{\left(x+y\right)^2}}{1+\sqrt{xy}}=\dfrac{\sqrt{xy}+x+y+z}{1+\sqrt{xy}}=\dfrac{\sqrt{xy}+1}{1+\sqrt{xy}}=1\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y\)

15 tháng 1 2021

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:

\(\sqrt{x\left(x+y+z\right)+yz}+\sqrt{y\left(x+y+z\right)+zx}+\sqrt{z\left(x+y+z\right)+xy}\ge1+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\sqrt{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}+\sqrt{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}\ge1+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\). (1)

Theo bđt Bunhiakowski:

\(\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\ge x+\sqrt{yz}\).

Tương tự: \(\sqrt{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}\ge y+\sqrt{zx}\)\(\sqrt{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}\ge z+\sqrt{xy}\).

Cộng vế với vế và kết hợp với gt x + y + z = 1 ta có (1) đúng.

Vậy ta có đpcm.

NV
15 tháng 1 2021

\(\sqrt{x+yz}=\sqrt{x\left(x+y+z\right)+yz}=\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\ge x+\sqrt{yz}\)

Tương tự:

\(\sqrt{y+zx}\ge y+\sqrt{zx}\) ; \(\sqrt{z+xy}\ge z+\sqrt{xy}\)

Cộng vế với vế:

\(VT\ge\left(x+y+z\right)+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}=...\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)

14 tháng 1 2021

Ta có x + y + z = 1 nên z = 1 - x - y.

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:

\(\dfrac{\sqrt{xy+z\left(x+y+z\right)}+\sqrt{2x^2+2y^2}}{1+\sqrt{xy}}\ge1\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}+\sqrt{2x^2+2y^2}\ge1+\sqrt{xy}\).

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz:

\(\left(z+x\right)\left(z+y\right)\ge\left(\sqrt{z}.\sqrt{z}+\sqrt{x}.\sqrt{y}\right)^2=\left(z+\sqrt{xy}\right)^2\)

\(\Rightarrow\sqrt{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}\ge z+\sqrt{xy}=\sqrt{xy}-x-y+1\); (1)

\(\sqrt{2x^2+2y^2}=\sqrt{\left(1+1\right)\left(x^2+y^2\right)}\ge x+y\). (2)

Cộng vế với vế của (1), (2) ta có đpcm.