Chứng minh rằng : a) S \(\le\frac{a^2+b^2}{4}\)với S là diện tích của tam giác có độ dài hai cạnh bằng a , b .
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
CM
27 tháng 10 2019
Xét tam giác ABC có BC = a, AC = b
Kẻ AH ⊥ BC thì AH và AC lần lượt là đường xiên.
Đường vuông góc kẻ từ A ở ngoài đường thẳng BC đến đường thẳng đó nên đường AH là đường ngắn nhất hay AH ≤ AC.
Khi đó ta có:
Mặt khác ta có:
⇒ 
hay
(đpcm)
NT
0
16 tháng 1 2021
BĐT trên bị ngược dấu rồi.
Theo công thức Heron:
\(S=\dfrac{1}{4}\sqrt{\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)}\).
Do đó ta chỉ cần cm:
\(\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\leq a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\). (1)
Ta có \(\left(1\right)\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4-a^2b^2-b^2c^2-c^2a^2\ge0\Leftrightarrow\dfrac{\left(a^2-b^2\right)^2}{2}+\dfrac{\left(b^2-c^2\right)^2}{2}+\dfrac{\left(c^2-a^2\right)^2}{2}\ge0\) (luôn đúng).
Do đó bđt ban đầu cũng đúng.
Đẳng thức xảy ra khi tam giác đó đều.
CH
Cô Hoàng Huyền
Admin
VIP
15 tháng 1 2018
Gọi chiều cao tương ứng với các cạnh a, b, c là ha ; hb ; hc
Ta có \(S=\frac{1}{2}a.h_a=\frac{1}{2}b.h_b=\frac{1}{2}c.h_c\)
Theo quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên thì \(h_a\le b;h_b\le c;h_c\le a\)
Vậy nên \(S=\frac{1}{2}a.h_a\le\frac{1}{2}a.b\Rightarrow2S\le ab\)
Tương tự \(2S< bc;2S< ca\)
8 tháng 6 2020
Vẽ AH _|_ CD: \(S_{ACD}=\frac{1}{2}ah\le\frac{1}{2}ab\)
\(\Rightarrow4S_{ACD}\le2ab\le a^2+b^2\) (Theo BĐT Cosi)
Tương tự \(4S_{ABC}\le c^2+d^2\)
Vậy \(4\left(S_{ACD}+S_{ABC}\right)\le a^2+b^2+c^2+d^2\) hay \(S\le\frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{4}\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\Delta\)ABC vuông ở B và \(\Delta\)ADC vuông ở D
=> ABCD là hình vuông
S = a.b/2
Xét : a^2+b^2/4 - ab/2 = a^2+b^2-2ab/4 = (a-b)^2/4 >= 0
=> ab/2 < = a^2+b^2/4
=> S < = a^2+b^2/4
=> đpcm
Tk mk nha
Bạn dưới Nguyễn Anh Quân nhầm rồi ; đây là tam giác thường chứ ko phải tam giác vuông