Cho ba số a,b,c khác nhau. Chứng minh rằng :
(b-c) / (a-b).(a-c) + (c-a) / (b-c).(b-a) + (a-b) / (c-a).(c-b) = 2/(a-b) + 2/(b-c) + 2/(c-a)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bạn nên viết đề bằng công thức toán (biểu tượng $\sum$ góc trái khung soạn thảo) để mọi người hiểu đề của bạn hơn.
Lời giải:
\(\frac{b-c}{(a-b)(a-c)}+\frac{c-a}{(b-c)(b-a)}+\frac{a-b}{(c-a)(c-b)}=\frac{-(b-c)^2-(c-a)^2-(a-b)^2}{(a-b)(b-c)(c-a)}\)
\(=\frac{-2(a^2+b^2+c^2-bc-ab-ac)}{(a-b)(b-c)(c-a)}=\frac{-2[(a^2+bc-ab-ac)+(b^2+ac-ba-bc)+(c^2+ab-ca-cb)]}{(a-b)(b-c)(c-a)}\)
\(=\frac{-2[(a-b)(a-c)+(b-c)(b-a)+(c-a)(c-b)]}{(a-b)(b-c)(c-a)}=\frac{2}{a-b}+\frac{2}{b-c}+\frac{2}{c-a}\)
Ta có : \(\frac{b-c}{\left(a-b\right)\left(a+c\right)}+\frac{c-a}{\left(b-c\right)\left(b-a\right)}+\frac{a-b}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}\)
\(=\frac{-\left(a-b\right)+\left(a-c\right)}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\frac{-\left(b-c\right)+\left(b-a\right)}{\left(b-c\right)\left(b-a\right)}+\frac{-\left(c-a\right)+\left(c-b\right)}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}\)
\(=-\frac{1}{a-c}+\frac{1}{a-b}+\frac{-1}{b-a}+\frac{1}{b-c}+\frac{-1}{c-b}+\frac{1}{c-a}\)
\(=\frac{1}{c-a}+\frac{1}{a-b}+\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a}\)
\(=\frac{2}{a-b}+\frac{2}{b-c}+\frac{2}{c-a}\)
Ta có :
\(\frac{\left(b-c\right)}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}\)
\(=\frac{\left(b-a+a-c\right)}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}\)
\(=\frac{\left(b-a\right)}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\frac{\left(a-c\right)}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}\)
\(=\frac{1}{\left(a-b\right)}+\frac{1}{\left(c-a\right)}\)
Tương tự
\(\frac{\left(c-a\right)}{\left(b-c\right)\left(b-a\right)}\)
\(=\frac{1}{\left(b-c\right)}+\frac{1}{\left(a-b\right)}\)
\(\frac{\left(a-b\right)}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}\)
\(=\frac{1}{\left(c-a\right)}+\frac{1}{\left(b-c\right)}\)
Cộng theo vế các dẳng thức trên đựoc ĐPCM
Lam tat the ma anh van hieu