Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\)
\(\frac{yz}{xyz}+\frac{xz}{xyz}+\frac{xy}{xyz}=0\)
\(\frac{yz+xz+xy}{xyz}=0\)
yz + xz + xy = 0
\(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz=x^2+y^2+z^2+2\times\left(xy+xz+yz\right)=x^2+y^2+z^2+2\times0=x^2+y^2+z^2\left(\text{đ}pcm\right)\)
a) Từ giả thiết suy ra: xy + yz + zx = 0
Do đó:
\(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)=x^2+y^2+z^2\)
b) Đặt \(\frac{1}{a-b}=x\); \(\frac{1}{b-c}=y\); \(\frac{1}{c-a}=z\)
Ta có: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=a-b+b-c+c-a=0\)
Theo câu a ta có: \(x^2+y^2+z^2=\left(x+y+z\right)^2\)
Suy ra điều phải chứng minh
\(\text{Áp dụng BĐT Bunhia... cho 2 bộ số (a;b;c) và (x;y;z), ta có: }\)
\(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(ax+by+cz\right)^2\)
\(\text{Dấu = xảy ra }\Leftrightarrow\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\text{(đpcm)}\)
Chả biết có đúng không '-'
Sửa lại đề:\(\left(ax+by+cz\right)\rightarrow\left(ax+by+cz\right)^2\)
Ta có:\(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)=\left(ax+by+cz\right)^2\)
\(\Rightarrow a^2x^2+a^2y^2+a^2z^2+b^2x^2+b^2y^2+b^2z^2+c^2x^2+c^2y^2+c^2z^2\)\(=a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2+2axby+2bycz+2axcz\)
\(\Rightarrow a^2y^2+a^2z^2+b^2x^2+b^2z^2+c^2x^2+c^2y^2-2aybx-2bzcy-2azcx=0\)
\(\Rightarrow\left(ay-bx\right)^2+\left(bz-cy\right)^2+\left(az-cx\right)^2=0\)
Vì\(\left(ay-bx\right)^2\ge0\)
\(\left(bz-cy\right)^2\ge0\)
\(\left(az-cx\right)^2\ge0\)
Suy ra:\(\left(ay-bx\right)^2+\left(bz-cy\right)^2+\left(az-cx\right)^2\ge0\)
Mà\(\left(ay-bx\right)^2+\left(bz-cy\right)^2+\left(az-cx\right)^2=0\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}ay-bx=0\\bz-cy=0\\az-cx=0\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}ay=bx\\bz=cy\\az=cx\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{a}{x}=\frac{b}{y}\\\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\\\frac{a}{x}=\frac{c}{z}\end{cases}}\)\(\left(x,y,z\ne0\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\left(đpcm\right)\)
Vậy...
Linz
\(\frac{\left(ax+by+cz\right)^2}{x^2+y^2+z^2}=a^2+b^2+c^2\)
\(\left(ax+by+cz\right)^2=\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(a^2+b^2\right)+c^2\)
Khai triển và rút gọn ta được:
\(2abxy+2acxz+2bcyz=a^2y^2+a^2z^2+b^2x^2+b^2z^2+c^2x^2+c^2y^2\)
Gom các hạng tử lai thành hằng đẳng thức:
\(\left(ay-bx\right)^2+\left(az-cx\right)^2+\left(cy-bz\right)^2=0\)
Mà bình phương của các số thì \(\ge\)0 nó chỉ bằng 0 khi và chỉ khi từng hạng tử =0
nên: \(\hept{\begin{cases}ay-bx=0\\az-cx=0\\cy-bz=0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}ay=bx\rightarrow\frac{a}{x}=\frac{b}{y}\\az=cx\rightarrow\frac{a}{x}=\frac{c}{z}\\cy=bz\rightarrow\frac{c}{z}=\frac{b}{y}\end{cases}}}\)
=>Đpcm
CM :\(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}=\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\) " Cm thế này cho gọn dễ nhìn ok "
\(a^2y\left(x+y\right)+b^2x\left(x+y\right)=xy\left(a^2+2ab+b^2\right).\) " quy đồng khửi mẫu "
\(a^2yx+a^2y^2+b^2x^2+b^2yx=a^2xy+2abxy+b^2xy\) " tính
\(\left(a^2yx-a^2yx\right)+\left(b^2xy-b^2xy\right)+\left(a^2y^2+2abxy+b^2x^2\right)=0\) " nhóm "
\(\left(a^2y^2+2abxy+b^2x^2\right)=0\) rút gọn
\(\left(ay+bx\right)^2=0\)" hằng đẳng thức "
\(\left(ay+bx\right)^2=0\) " đúng dcpcm "
10. a)
\(\frac{x^4}{a}+\frac{y^4}{b}=\frac{1}{a+b}\Leftrightarrow\frac{x^4}{a}+\frac{y^4}{b}=\frac{\left(x^2+y^2\right)^2}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(x^4+y^4\right)=ab\left(x^2+y^2\right)^2\Leftrightarrow\left(bx^2-ay^2\right)^2=0\Leftrightarrow bx^2=ay^2\)
b) Từ \(ay^2=bx^2\Rightarrow\frac{y^2}{b}=\frac{x^2}{a}=\frac{x^2+y^2}{a+b}=\frac{1}{a+b}\)
\(\Rightarrow\frac{x^{2008}}{a^{1004}}=\frac{1}{\left(a+b\right)^{1004}}\); \(\frac{y^{2008}}{b^{1004}}=\frac{1}{\left(a+b\right)^{1004}}\)
\(\Rightarrow\frac{x^{2008}}{a^{1004}}+\frac{y^{2008}}{b^{1004}}=\frac{2}{\left(a+b\right)^{1004}}\)
25. Ta có \(\left(ax+by+cz\right)^2=0\Leftrightarrow a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2=-2\left(abxy+bcyz+acxz\right)\)
Xét mẫu số của P : \(bc\left(y-z\right)^2+ac\left(x-z\right)^2+ab\left(x-y\right)^2=bc\left(y^2-2yz+z^2\right)+ac\left(x^2-2xz+z^2\right)+ab\left(x^2-2xy+y^2\right)\)
\(=y^2bc-2bcyz+bcz^2+acx^2-2xzac+acz^2+abx^2-2abxy+aby^2\)
\(=y^2bc+bcz^2+acx^2+acz^2+abx^2+aby^2-2\left(abxy+xzac+bcyz\right)\)
\(=y^2bc+bcz^2+acx^2+acz^2+abx^2+aby^2+a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2\)
\(=c\left(ax^2+by^2+cz^2\right)+b\left(ax^2+by^2+cz^2\right)+a\left(ax^2+by^2+cz^2\right)=\left(a+b+c\right)\left(ax^2+by^2+cz^2\right)\)
\(\Rightarrow P=\frac{ax^2+by^2+cz^2}{\left(a+b+c\right)\left(ax^2+by^2+cz^2\right)}=\frac{1}{a+b+c}=\frac{1}{2007}\)
8. \(\frac{x^3}{a^3}+\frac{y^3}{b^3}=\left(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\right)^3-3.\frac{xy}{ab}\left(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\right)=1^3-3.\left(-2\right).1=7\)
bài này chúa Pain làm rất nhiều lần rồi ? m ko biết ấn vào câu hỏi tương tự để xem ak
https://olm.vn/hoi-dap/question/1159233.html.
\(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}=\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\) " C/M 2 số rồi suy ra 3 số cx như vậy "
\(\frac{a^2x+b^2y}{xy}=\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\) " Quy đồng VT "
\(\left(a^2x+b^2y\right)\left(x+y\right)=xy\left(a+b\right)\left(a+b\right)\) " nhân chéo mẫu số "
\(a^2x^2+a^2xy+b^2y^2+b^2xy=a^2xy+2abxy+b^2xy.\)
\(\left(a^2x^2-2abxy+b^2y^2\right)+\left(a^2xy-a^2xy\right)+\left(b^2xy-b^2xy\right)=0\)
\(\left(ax-by\right)^2=0\) " đúng " dcpcm
1) \(\left\{{}\begin{matrix}b+c-a=x\\c+a-b=y\\a+b-c=z\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\frac{y+z}{2}\\b=\frac{z+x}{2}\\c=\frac{x+y}{2}\end{matrix}\right.\)
BĐT cần cm trở thành:
\(\frac{y+z}{2x}+\frac{z+x}{2y}+\frac{x+y}{2z}\ge3\)
Theo AM-GM, VT>=6/2=3
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c
2)\(x^2\left(y+z\right)\ge2x^2\sqrt{yz}=2x^2\sqrt{\frac{1}{x}}=2x\sqrt{x}\)
=>\(P\ge\frac{2x\sqrt{x}}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}+\frac{2y\sqrt{y}}{z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}}+\frac{2z\sqrt{z}}{x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}}\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x\sqrt{x}=a\\y\sqrt{y}=b\\z\sqrt{z}=c\end{matrix}\right.\Rightarrow abc=1\)
=>\(P\ge\frac{2a}{b+2c}+\frac{2b}{c+2a}+\frac{2c}{a+2b}\ge2.1=2\)
(Dùng Cauchy-Schwartz chứng minh được:
\(\frac{a}{b+2c}+\frac{b}{c+2a}+\frac{c}{a+2b}\ge1\))
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1 <=> x=y=z=1
Vậy minP=2<=>x=y=z=1
bài ở đâu mà hay vậy bạn