Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn x2+y2+z2=1 .Tìm giá trị nhỏ nhất của \(C=\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
27 tháng 7 2021
Ta có: \(P=\frac{\sqrt{x}}{1+x+xy}+\frac{\sqrt{y}}{1+y+yz}+\frac{\sqrt{z}}{1+z+xz}\)
\(P=\frac{\sqrt{x}}{xy+x+1}+\frac{x\sqrt{y}}{x+xy+xyz}+\frac{xy\sqrt{z}}{xy+xyz+x^2yz}\)
\(P=\frac{\sqrt{x}}{xy+x+1}+\frac{x\sqrt{y}}{xy+x+1}+\frac{\sqrt{xy}.\sqrt{xyz}}{xy+x+1}\)
\(P=\frac{\sqrt{x}+x\sqrt{y}+\sqrt{xy}}{xy+x+1}\le\frac{\frac{x+1}{2}+\frac{x\left(y+1\right)}{2}+\frac{xy+1}{2}}{xy+x+1}\) (bđt cosi)
=> \(P\le\frac{x+1+xy+x+xy+1}{2\left(xy+x+1\right)}=\frac{2\left(xy+x+1\right)}{2\left(xy+x+1\right)}=1\)
Dấu "=" xảy ra<=> x = y = z = 1
Vậy MaxP = 1 <=> x = y = z = 1
RR
14 tháng 5 2018
Từ dữ kiện đề bài => x + y + z = xyz
Ta có :
\(\frac{x}{\sqrt{yz\left(1+x^2\right)}}=\frac{x}{\sqrt{yz+xyz.x}}=\frac{x}{\sqrt{yz+x\left(x+y+z\right)}}=\frac{x}{\sqrt{\left(x+z\right)\left(x+y\right)}}\)
\(=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+z}}.\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+y}}\le\frac{1}{2}.\left(\frac{x}{x+z}+\frac{x}{x+y}\right)\)
Tương tự với hai hạng tử còn lại , suy ra
\(Q\le\frac{1}{2}\left(\frac{x}{x+z}+\frac{x}{x+y}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{y}{x+y}+\frac{y}{y+z}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{z}{z+x}+\frac{z}{z+y}\right)=\frac{3}{2}\)
Vậy Max = 3/2 <=> x = y = z
Nguồn : Đinh Đức Hùng
28 tháng 11 2019
\(Q=\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}=\frac{1^2}{xy}+\frac{1^2}{yz}+\frac{1^2}{xz}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{xy+yz+xz}\)
\(=\frac{9}{xy+yz+zx}\ge\frac{9}{x^2+y^2+z^2}\ge\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\).
Dấu " = " xảy ra <=> x = y =z = \(\sqrt{2}\).
20 tháng 5 2016
\(P+3=\frac{xy}{1+x+y}+1+\frac{yz}{1+y+z}+1+\frac{xz}{1+x+z}+1\)
\(\frac{xy}{1+x+y}+1=\frac{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}{1+x+y}\)
\(P+3=\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)\left(\frac{1}{\left(z+1\right)\left(x+y+1\right)}+\frac{1}{\left(y+1\right)\left(x+z+1\right)}+\frac{1}{\left(x+1\right)\left(y+z+1\right)}\right)\)
\(P+3\ge\left(xyz+xy+xz+yz+1\right)\left(\frac{9}{xy+xz+x+y+z+1+xy+yz+x+y+z+1+xz+yz+x+y+z+1}\right)\)
20 tháng 5 2016
dòng cuối cùng sai, sửa :
\(P+3\ge\left(xyz+xy+xz+yz+1\right)\left(\frac{9}{xy+xz+x+y+z+1+xy+yz+x+y+z+1+xz+yz+x+y+z+1}\right)\)
\(P+3\ge\left(3xyz+xy+xz+yz\right)\left(\frac{9}{2\left(3xyz+xy+xz+yz\right)}\right)=\frac{9}{2}\)
\(P\ge\frac{3}{2}\)
dấu "=" xảy ra <=> x=y=z=\(\frac{1+\sqrt{3}}{2}\)
CM
2 tháng 2 2019
Đáp án D
Ta có C 12 1 . C 10 1 = 120
Khi đó C 12 1 . C 10 1 = 120 . Đặt C 12 1 . C 10 1 = 120
Ta luôn có C 12 1 . C 10 1 = 120
C 12 1 . C 10 1 = 120 Suy ra C 12 1 . C 10 1 = 120
Xét hàm số f t = t 2 − 8 t + 3 trên khoảng − 1 ; + ∞ ,có f ' t = 2 t + 1 2 t + 4 t + 3 2 > 0 ; ∀ t > − 1
Hàm số f(t) liên tục trên − 1 ; + ∞ ⇒ f t đồng biến trên − 1 ; + ∞
Do đó, giá trị nhỏ nhất của f(t) là min − 1 ; + ∞ f t = f − 1 = − 3 . Vậy P min = − 3
26 tháng 9 2016
Ta có 1 + x2 = xy + yz + xz + x2 = (xy + x2) + (yz + xz) = (x + y)(x + z)
=> \(1x\sqrt{\frac{\left(1+y^2\right)\left(1+z^2\right)}{\left(1+x^2\right)}}=\:x\sqrt{\frac{\left(y+x\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\left(z+y\right)}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}=\:x\left|y+z\right|\)
26 tháng 9 2016
Tương tự như vậy thì ta có
A = xy + xz + yx + yz + zx + zy = 2
Ta có : \(\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(1^2+1^2+1^2\right)\le\left(x.1+y.1+z.1\right)^2\) (bđt Bunhiacopxki)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\) hay \(1\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)
\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2\ge3\Rightarrow x+y+z\ge\sqrt{3}\) (do x;y;z dương)
Áp dụng bđt AM - GM ta có :
\(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}\ge2\sqrt{\frac{xy}{z}.\frac{yz}{x}}=2y\)
\(\frac{xy}{z}+\frac{xz}{y}\ge2\sqrt{\frac{xy}{z}.\frac{xz}{y}}=2x\)
\(\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}\ge2\sqrt{\frac{yz}{x}.\frac{xz}{y}}=2z\)
Cộng vế với vế ta được :
\(2C\ge2\left(x+y+z\right)=2\sqrt{3}\Rightarrow C\ge\sqrt{3}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Đức Hùng hình như áp dụng sai ( ngược dấu ) BĐT Bunhiacopxki rồi