Question

[Bảo Khánh Lê Trọng]

Tam giác ABC cân tại A . Trên tia đối của tia BC lấy điểm D , trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD=CE . Kẻ BH vuông góc với AD . Kẻ CK vuông góc với AE .chứng minh 

a.BH=CK

b.tam giác ABH=tam giác ACK

c. gọi O là giao điểm của HB và KC . cm tam giác OBC cân

d.cm AO là phân giác của góc DAE 

e. gọi I là trung điểm của BC . cm A,I ,O  thẳng hàng

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Ta có: \(\widehat{ABD}+\widehat{ABC}=180^0\)(hai góc kề bù)

\(\widehat{ACE}+\widehat{ACB}=180^0\)(hai góc kề bù)

mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)

nên \(\widehat{ABD}=\widehat{ACE}\)

Xét ΔABD và ΔACE có

AB=AC

\(\widehat{ABD}=\widehat{ACE}\)

BD=CE

Do đó: ΔABD=ΔACE

=>AD=AE; \(\widehat{BAD}=\widehat{CAE};\widehat{ADB}=\widehat{AEC}\)

Xét ΔHBD vuông tại H và ΔKCE vuông tại K có

BD=CE

\(\widehat{HDB}=\widehat{KEC}\)

Do đó: ΔHBD=ΔKCE

=>HB=CK

b: Xét ΔAHB vuông tại H và ΔAKC vuông tại K có

AB=AC

BH=CK

Do đó: ΔAHB=ΔAKC

c: Ta có: \(\widehat{OBC}=\widehat{HBD}\)(hai góc đối đỉnh)

\(\widehat{OCB}=\widehat{KCE}\)(hai góc đối đỉnh)

mà \(\widehat{HBD}=\widehat{KCE}\)(ΔHBD=ΔKCE)

nên \(\widehat{OBC}=\widehat{OCB}\)

=>ΔOBC cân tại O

d: Xét ΔABO và ΔACO có

AB=AC

BO=CO

AO chung

Do đó: ΔABO=ΔACO

=>\(\widehat{BAO}=\widehat{CAO}\)

Ta có: \(\widehat{DAB}+\widehat{BAO}=\widehat{DAO}\)

\(\widehat{EAC}+\widehat{CAO}=\widehat{EAO}\)

mà \(\widehat{DAB}=\widehat{EAC};\widehat{BAO}=\widehat{CAO}\)

nên \(\widehat{DAO}=\widehat{EAO}\)

=>AO là phân giác của góc DAE

e: IB=IC

=>I nằm trên đường trung trực của BC(1)

Ta có: AB=AC

=>A nằm trên đường trung trực của BC(2)

Ta có: OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(3)

Từ (1),(2),(3) suy ra A,O,I thẳng hàng