Question

[YiGU]

- Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AC = a * sqrt(2) Gọi G là trọng tâm tam giác SAB và K là hình chiếu của điểm A trên cạnh SC. Gọi a là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AGK). Tỉnh cosa, biết rằng khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (KBC) bằng a/(sqrt(2))

A. cos alpha = 1/2

B. cos alpha = (sqrt(2))/2

C. cos alpha = (sqrt(3))/2

D. cos a = (sqrt(3))/3

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

K thuộc SC nên (KBC) cũng là (SBC)

Từ A kẻ \(AH\perp SB\) (H thuộc SB)

\(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABC\right)\Rightarrow SA\perp BC\\BC\perp AB\left(gt\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BC\perp\left(SAB\right)\Rightarrow BC\perp AH\)

\(\Rightarrow AH\perp\left(SBC\right)\Rightarrow AH=d\left(A;\left(KBC\right)\right)=\dfrac{a}{\sqrt{2}}\)

Hệ thức lượng: \(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{SA^2}+\dfrac{1}{AB^2}\Rightarrow SA=\dfrac{AH.AB}{\sqrt{AB^2-AH^2}}=a\)

(tới đây nếu sử dụng kiến thức 12 tọa độ hóa thì bài toán được giải quyết nhanh gọn, còn làm kiểu hình thuần 11 hơi dài)

\(\Rightarrow SA=AB\Rightarrow\Delta SAB\) cân tại A \(\Rightarrow AH\) đồng thời là trung tuyến \(\Rightarrow G\) thuộc AH

\(\Rightarrow\left(AGK\right)\) trùng mặt phẳng \(\left(AHK\right)\)

Trong mp (SBC), nối HK cắt BC kéo dài tại E

\(\Rightarrow AE=\left(ABC\right)\cap\left(AGK\right)\) (1)

Theo cmt \(AH\perp\left(SBC\right)\Rightarrow AH\perp SC\Rightarrow SC\perp\left(AGK\right)\Rightarrow SC\perp AE\)

\(SA\perp\left(ABC\right)\Rightarrow SA\perp AE\)

\(\Rightarrow AE\perp\left(SAC\right)\) (2)

(1);(2) \(\Rightarrow\widehat{CAK}\) là góc giữa (ABC) và (AGK)

Hệ thức lượng: \(AK=\dfrac{SA.AC}{\sqrt{SA^2+AC^2}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}\)

\(\Rightarrow cos\widehat{CAK}=\dfrac{AK}{AC}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)

Answer 2

[Nguyễn Việt Lâm]