\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{16c^2}{a+b}>hoac=\frac{1}{9}\) chứng minh .(dành cho người thi chuyên toán)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
21 tháng 6 2020
Bài làm:
Ta xét: \(\frac{bc}{a^2\left(b+c\right)}+\frac{b+c}{4bc}\ge2\sqrt{\frac{bc}{a^2\left(b+c\right)}.\frac{b+c}{4bc}}=2.\frac{1}{2a}=\frac{1}{a}\)
Tương tự ta chứng minh được: \(\frac{ca}{b^2\left(c+a\right)}\ge\frac{1}{b}\)và \(\frac{ab}{c^2\left(a+b\right)}\ge\frac{1}{c}\)
\(\Rightarrow VT+\frac{1}{4}\left(\frac{b+c}{bc}+\frac{c+a}{ca}+\frac{a+b}{ab}\right)\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
\(\Leftrightarrow VT+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
\(\Leftrightarrow VT\ge\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{2c}\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c\)
Dạ nếu em làm còn nhầm lẫn chỗ nào thì mong mn thông cảm ạ!
21 tháng 6 2020
Ở đoạn tương tự mình viết nhầm phải là: \(\frac{ca}{b^2\left(c+a\right)}+\frac{c+a}{4ca}\ge\frac{1}{b}\) và \(\frac{ab}{c^2\left(a+b\right)}+\frac{a+b}{4ab}\ge\frac{1}{c}\)nhé!
Học tốt!!!!
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
29 tháng 3 2022
\(\dfrac{a^2}{b+1}+\dfrac{b^2}{c+1}+\dfrac{c^2}{a+1}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c+3}=\dfrac{9^2}{9+3}=\dfrac{27}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=3\)
30 tháng 3 2022
Chứng minh BĐT \(\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}+\frac{z^2}{c}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{a+b+c}\) với \(\left(a,b,c>0\right)\)
Trước hết ta cm \(\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{a+b}\)\(\Leftrightarrow\frac{x^2b+y^2a}{ab}\ge\frac{x^2+y^2+2xy}{a+b}\)\(\Leftrightarrow\left(x^2b+y^2a\right)\left(a+b\right)\ge ab\left(x^2+y^2+2xy\right)\)(vì tất cả các tử số và mẫu số đều dương)
\(\Leftrightarrow x^2ab+y^2ab+x^2b^2+y^2a^2\ge abx^2+aby^2+2abxy\)\(\Leftrightarrow x^2b^2-2abxy+y^2a^2\ge0\)\(\Leftrightarrow\left(xb-ya\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
Vậy BĐT được cm
Để có đpcm thì ta chỉ cần áp dụng 2 lần BĐT ta vừa chứng minh xong:
\(\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}+\frac{z^2}{c}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{a+b}+\frac{z^2}{c}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{a+b+c}\)
DK
1
7 tháng 9 2017
ta có:\(\frac{a}{a+1}=1-\frac{1}{a+1};\frac{2b}{2+b}=2-\frac{4}{2+b};\frac{3c}{3+c}=3-\frac{9}{3+c}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{1+a}+\frac{2b}{2+b}+\frac{3c}{3+c}\le\left(1+2+3\right)-\left(\frac{1}{a+1}+\frac{4}{b+2}+\frac{9}{c+3}\right)\)
\(\le6-\frac{\left(1+2+3\right)^2}{a+b+c+1+2+3}=6-\frac{36}{7}=\frac{6}{7}\left(Q.E.D\right)\)
TN
1 tháng 8 2018
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b+c}{\frac{9}{4}}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{a+c}{\frac{9}{4}}+\frac{16c^2}{a+b}+a+b\)
\(\ge2\sqrt{\frac{a^2}{b+c}\cdot\frac{b+c}{\frac{9}{4}}}+2\sqrt{\frac{b^2}{c+a}\cdot\frac{a+c}{\frac{9}{4}}}+2\sqrt{\frac{16c^2}{a+b}\cdot\left(a+b\right)}=\frac{4a+4b}{3}+8c\)
Suy ra
\(VT\ge\frac{4a+4b}{3}+8c-\frac{b+c}{\frac{9}{4}}-\frac{c+a}{\frac{9}{4}}-\left(a+b\right)=\frac{64c-a-b}{9}=VP\)
Dấu "=" khi \(a=b=2c\)
Bài này bạn cũng chú ý tới dấu "=" là xong nhé.
12 tháng 6 2020
Ta có: \(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}\Rightarrow ayz+bxz+cxy=0\)
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\) (\(a;b;c\ne0\) )
\(\Rightarrow\left(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}\right)^2=1\)
\(\Rightarrow\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}+\frac{2xy}{ab}+\frac{2yz}{bc}+\frac{2xz}{ac}=1\)
\(\Rightarrow\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}+2\left(\frac{xy}{ab}+\frac{yz}{bc}+\frac{zx}{ca}\right)=1\)
\(\Rightarrow\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1-2\left(\frac{xy}{ab}+\frac{yz}{bc}+\frac{zx}{ca}\right)=1-2\left(\frac{ayz+bxz+cxy}{abc}\right)=1-2.0=1\)
=> đpcm
12 tháng 6 2020
á em đổi biến lộn ạ. Em định viết H;U;Y cho đúng tên mình mà quen tay lộn vào Y;Z ạ
Đặt \(\left(\frac{x}{a};\frac{y}{b};\frac{z}{c}\right)\rightarrow\left(H;U;Y\right)\)
Khi đó ta có:
\(H+U+Y=1;\frac{1}{H}+\frac{1}{U}+\frac{1}{Y}=0\Rightarrow HU+UY+YH=0\)
Thay vào thì :
\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=\left(H+U+Y\right)^2-2\left(HU+UY+YH\right)=1\)
Vậy ta có đpcm
2 tháng 7 2018
2. Áp dụng bất đẳng thức Cô - si cho 3 số dương \(\frac{a}{b},\frac{b}{c},\frac{c}{a}\)ta có
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge3\sqrt[3]{\frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{a}}\)\(=3\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c
T
13 tháng 2 2020
Mấy cái dấu "=" anh tự xét.
Áp dụng BĐT AM-GM: \(VT=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}=\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}\ge\frac{3}{\frac{a+b+c}{3}}=\frac{9}{a+b+c}\)
a) Áp dụng: \(VT\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}.\frac{9}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{3}{2}\left(a+b+c\right)\)
b) \(P=3-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\le3-\frac{9}{x+y+z+3}=\frac{3}{4}\)
ko có đk à