Bài 3. (1 điểm) Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ thỏa mãn: $\left| \overrightarrow{a} \right|=1, \, \left| \overrightarrow{b} \right|=2, \, \left| \overrightarrow{a}-2\overri...

0

KH

Kimian Hajan Ruventaren

13 tháng 12 2020

Cho các vecto $\left|\overrightarrow{a}\right|=x,\left|\overrightarrow{b}\right|=y,\left|\overrightarrow{z}\right|=c$ và vecto a+b+3c=0. Tính $A=\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}.\overrightarrow{c}+\overrightarrow{c}.\overrightarrow{a}$

Cho các véctơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ thỏa...

1

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

13 tháng 12 2020

$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=-2\overrightarrow{c}$

$\Leftrightarrow\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)^2=\left(-2\overrightarrow{c}\right)^2$

$\Leftrightarrow\overrightarrow{a}^2+\overrightarrow{b}^2+\overrightarrow{c}^2+2\left(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}.\overrightarrow{c}+\overrightarrow{c}.\overrightarrow{a}\right)=4\overrightarrow{c}^2$

$\Leftrightarrow A=\dfrac{4x^2-\left(x^2+y^2+z^2\right)}{2}=\dfrac{3x^2-y^2-z^2}{2}$

Đúng(2)

K

Kinder

9 tháng 2 2021

1

NT

nguyen thi vang

9 tháng 2 2021

Ta có:

$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=-3\overrightarrow{c}\Leftrightarrow\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)^2=9\overrightarrow{c}^2$

<=> $\overrightarrow{a}^2+\overrightarrow{b}^2+2\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=9\overrightarrow{c}^2$

<=> $\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=\dfrac{9z^2-x^2-y^2}{2}$

Tương tự ta có: $\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}=-\overrightarrow{a}$ <=> $\left(\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}\right)^2=\overrightarrow{a}^2$

<=> $\overrightarrow{b}.\overrightarrow{c}=\dfrac{x^2-y^2-9z^2}{2}$

Và lại có : $\overrightarrow{a}\overrightarrow{c}=\dfrac{y^2-x^2-9z^2}{2}$

Suy ra: A=$\dfrac{9z^2-x^2-y^2}{2}+\dfrac{x^2-y^2-9z^2}{2}+\dfrac{y^2-x^2-9z^2}{2}=\dfrac{3z^2-z^2-y^2}{2}$

KH

Kimian Hajan Ruventaren

14 tháng 1 2021

Cho hai vecto a;b khác vecto 0 thỏa mãn $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\dfrac{1}{2}\left|-\overrightarrow{a}\right|\left|\overrightarrow{b}\right|$. Khi đó góc giữa hai vecto a và b là

Trong không gian Oxyz, cho 3 vectơ $\overrightarrow{a}=\left(2;-5;3\right);\overrightarrow{b}=\left(0;2;-1\right);\overrightarrow{c}=\left(1;7;2\right)$ a) Tính tọa độ của vectơ $\overrightarrow{d}=4\overrightarrow{a}-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}$ b) Tính tọa độ của...

1

NT

Ngô Thành Chung

14 tháng 1 2021

Giả thiết => cos $\left(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}\right)=\dfrac{1}{2}$

⇒ $\left(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}\right)=60^0$

Đúng(1)

SG

Sách Giáo Khoa

1 tháng 4 2017

#Toán lớp 12

1

HB

Hai Binh

27 tháng 4 2017

Hỏi đáp Toán

QT

Quoc Tran Anh Le

Giáo viên

25 tháng 9 2023

Cho $\overrightarrow a ,\overrightarrow b $ là hai vectơ khác vectơ $\overrightarrow 0 $. Trong trường hợp nào thì đẳng thức sau đúng?

a) $\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right|$;

b) $\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right|$.

1

HQ

Hà Quang Minh

Giáo viên

25 tháng 9 2023

a) $\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right| \Leftrightarrow {\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right|^2} = {\left( {\left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right|} \right)^2}$

$ \Leftrightarrow {\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)^2} = {\left( {\left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right|} \right)^2} \Leftrightarrow {\left( {\overrightarrow a } \right)^2} + 2\overrightarrow a .\overrightarrow b + {\left( {\overrightarrow b } \right)^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + 2.\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right| + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2}$

$ \Leftrightarrow {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + 2\overrightarrow a .\overrightarrow b + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + 2.\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right| + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2}$

$ \Leftrightarrow 2\overrightarrow a .\overrightarrow b = 2\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|$

$ \Leftrightarrow 2\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 2\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|$

$ \Leftrightarrow \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 1 \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 0^\circ $

Vậy $\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right| \Leftrightarrow \overrightarrow a , \,\overrightarrow b $ cùng hướng.

b) $\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right| \Leftrightarrow {\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right|^2}$

$ \Leftrightarrow {\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)^2} = {\left( {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right)^2}$

$ \Leftrightarrow {\left( {\overrightarrow a } \right)^2} + 2\overrightarrow a .\overrightarrow b + {\left( {\overrightarrow b } \right)^2} = {\left( {\overrightarrow a } \right)^2} - 2\overrightarrow a .\overrightarrow b + {\left( {\overrightarrow b } \right)^2}$

$ \Leftrightarrow 2\overrightarrow a .\overrightarrow b = - 2\overrightarrow a .\overrightarrow b \Leftrightarrow 4\overrightarrow a .\overrightarrow b = 0$

$ \Leftrightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b = 0 \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 90^\circ $

Vậy $\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right| \Leftrightarrow \overrightarrow a ,\overrightarrow b $ vuông góc với nhau.

PT

Phạm Thị Phương

14 tháng 8 2021

Cho 3 vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ tuỳ ý. Chứng minh:

$\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right|\le\left|\overrightarrow{a}\right|+\left|\overrightarrow{b}\right|+\left|\overrightarrow{c}\right|$. Dấu "=" xảy ra khi nào? Nêu bài toán tổng quát

1

AH

Akai Haruma

Giáo viên

15 tháng 8 2021

Lời giải:
Xét hai vecto bất kỳ $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CD}$. Kẻ vecto $\overrightarrow{CT}$ sao cho $\overrightarrow{CT}=\overrightarrow{BA}$

Ta có:

$|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}|=|\overrightarrow{TC}+\overrightarrow{CD}|=|\overrightarrow{TD}|$

$|\overrightarrow{AB}|+|\overrightarrow{CD}|=|\overrightarrow{TC}|+|\overrightarrow{CD}|$

Mà theo bđt tam giác thì:

$|\overrightarrow{TC}+\overrightarrow{CD}|\geq |\overrightarrow{TD}|\Rightarrow |\overrightarrow{AB}|+\overrightarrow{CD}|\geq |\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}|$

Dấu "=" xảy ra khi $T, C,D$ thẳng hàng và $C$ nằm giữa $T,D$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{TC}, \overrightarrow{CD}$ cùng hướng

$\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CD}$ cùng hướng

Vậy với $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$ bất kỳ thì $|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow{b}|\geq |\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$. Dấu "=" xảy ra khi $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$ cùng hướng.

------------------

Áp dụng vào bài toán:

$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}|\leq |\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|+|\overrightarrow{c}|\leq |\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow{b}|+|\overrightarrow{c}|$

Dấu "=" xảy ra khi $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$ cùng hướng và $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}$ cùng hướng

$\Leftrightarrow \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}$ cùng hướng

Đúng(1)

QT

Quoc Tran Anh Le

Giáo viên

25 tháng 9 2023

Cho hai vectơ $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $ cùng phương khác $\overrightarrow 0 $ và cho $\overrightarrow c = \frac{{\left| {\overrightarrow a } \right|}}{{\left| {\overrightarrow b } \right|}}.\overrightarrow b $. So sánh độ dài và hướng của hai vectơ $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow c $

1

HQ

Hà Quang Minh

Giáo viên

25 tháng 9 2023

vectơ $\overrightarrow c = \frac{{\left| {\overrightarrow a } \right|}}{{\left| {\overrightarrow b } \right|}}.\overrightarrow b $ có độ dài gấp $\frac{{\left| {\overrightarrow a } \right|}}{{\left| {\overrightarrow b } \right|}}$ lần vectơ $\overrightarrow b $ và cùng hướng với vectơ $\overrightarrow b $

+) Nếu hai vectơ $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $ cùng hướng thì hai vectơ $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow c $cùng hướng và ngược lại

+) $\left| {\overrightarrow c } \right| = \left| {\frac{{\left| {\overrightarrow a } \right|}}{{\left| {\overrightarrow b } \right|}}.\overrightarrow b } \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow a } \right|}}{{\left| {\overrightarrow b } \right|}}.\left| {\overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow a } \right|$. Suy ra hai vectơ $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow c $có cùng độ dài

Cho $\overrightarrow{a}=\left(2;-2\right);\overrightarrow{b}=\left(1;4\right)$ a) Tính tọa độ các vectơ $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b};\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$ và $2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}$ b) Hãy phân tích vectơ $\overrightarrow{c}=\left(5;0\right)$ theo hai...

SG

Sách Giáo Khoa

8 tháng 4 2017

1

BT

Bùi Thị Vân

17 tháng 5 2017

a) $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\left(2;-2\right)+\left(1;4\right)=\left(3;2\right)$.
$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\left(2;-2\right)-\left(1;4\right)=\left(1;-6\right)$.
$2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}=2\left(2;-2\right)+3\left(1;4\right)=\left(4;-4\right)+\left(3;12\right)$$=\left(7;8\right)$.
c) Gọi x và y là hai số thực để:
$\overrightarrow{c}=x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{b}=x\left(2;-2\right)+y\left(1;4\right)=\left(2x+y;-2x+4y\right)$
Từ đó suy ra: $\left\{{}\begin{matrix}2x+y=5\\-2x+4y=0\end{matrix}\right.$$\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=1\end{matrix}\right.$.
Vậy $\overrightarrow{c}=2\overrightarrow{a}+1\overrightarrow{b}$.

QT

Quoc Tran Anh Le

Giáo viên

25 tháng 9 2023

Cho vectơ $\overrightarrow a $. Hãy xác định độ dài và hướng của hai vectơ $\overrightarrow a + \overrightarrow a ,\left( { - \overrightarrow a } \right) + \left( { - \overrightarrow a } \right)$: (Hình 1)

1

HQ

Hà Quang Minh

Giáo viên

25 tháng 9 2023

Dựa vào hình 1 ta thấy

Vectơ $\overrightarrow a + \overrightarrow a = \overrightarrow {AC} $ có độ dài bằng 2 lần vectơ $\overrightarrow a $và cùng hướng với vectơ $\overrightarrow a $

Vectơ $\left( { - \overrightarrow a } \right) + \left( { - \overrightarrow a } \right)= \overrightarrow {DF}$ có độ dài bằng 2 lần vectơ $\left( { - \overrightarrow a } \right)$ và cùng hướng với vectơ $\left( { - \overrightarrow a } \right)$