K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

18 tháng 11 2023

Đặt \(a=\dfrac{x}{2};b=\dfrac{y}{2};c=\dfrac{z}{2}\). Khi đó \(xyz=1\).

Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

\(\sum\dfrac{1}{\sqrt{8x^3+1}}\ge1\)

Ta có: \(\sum\dfrac{1}{\sqrt{8x^3+1}}=\sum\sqrt{\dfrac{b^3c^3}{8+b^3c^3}}=\sum\dfrac{b^2c^2}{\sqrt{8bc+b^4c^4}}\ge\dfrac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{\sum\sqrt{8bc+b^4c^4}}=\dfrac{\sum b^2c^2+2\sum a}{\sum\sqrt{8bc+b^4c^4}}\ge\dfrac{\sum b^2c^2+6}{\sum\sqrt{8bc+b^4c^4}}\)

Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chứng minh được:

\(\sum b^2c^2+6\ge\sum\sqrt{8bc+b^4c^4}\left(\cdot\right)\)

Để ý rằng, nếu ta chứng minh được \(b^2c^2+2\ge\sqrt{8bc+b^4c^4}\left(1\right)\) thì ta sẽ chứng minh được (*).

Thật vậy, bằng phép biến đổi tương đương, ta có:

\(b^2c^2+2\ge\sqrt{8bc+b^4c^4}\)

\(\Leftrightarrow b^4c^4+4b^2c^2+4\ge8bc+b^4c^4\)

\(\Leftrightarrow4\left(bc-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng).

Vậy nhận xét (1) là đúng. Từ đây ta có điều phải chứng minh.

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=2\)

18 tháng 11 2023

Đặt \(A=\dfrac{1}{\sqrt{a^3+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{b^3+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{c^3+1}}\)

\(\sqrt{a^3+1}=\sqrt{\left(a+1\right)\left(a^2-a+1\right)}\)

=>\(\sqrt{a^3+1}< =\dfrac{a+1+a^2-a+1}{2}=\dfrac{a^2+2}{2}\)

=>\(\dfrac{1}{\sqrt{a^3+1}}>=\dfrac{2}{a^2+2}\)

Chứng minh tương tự, ta được:

\(\sqrt{b^3+1}< =\dfrac{b^2+2}{2}\) và \(\sqrt{c^3+1}< =\dfrac{c^2+2}{2}\)

=>\(\dfrac{1}{\sqrt{b^3+1}}>=\dfrac{2}{b^2+2};\dfrac{1}{\sqrt{c^3+1}}>=\dfrac{2}{c^2+2}\)

=>\(\dfrac{1}{\sqrt{a^3+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{b^3+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{c^3+1}}>=\dfrac{2}{a^2+2}+\dfrac{2}{b^2+2}+\dfrac{2}{c^2+2}\)

=>\(A>=\dfrac{2}{a^2+2}+\dfrac{2}{b^2+2}+\dfrac{2}{c^2+2}\)

=>\(A>=\dfrac{2\left(b^2+2\right)\left(c^2+2\right)+2\left(a^2+2\right)\left(c^2+2\right)+2\left(b^2+2\right)\left(a^2+2\right)}{\left(a^2+2\right)\left(c^2+2\right)\left(b^2+2\right)}\)

=>\(A>=\dfrac{2\left(b^2c^2+2c^2+2b^2+4+a^2c^2+2a^2+2c^2+4+a^2b^2+2b^2+2a^2+4\right)}{\left(a^2+2\right)\left(b^2+2\right)\left(c^2+2\right)}\)

 

=>\(A>=\dfrac{2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)+8\left(a^2+b^2+c^2\right)+24}{\left(a^2+2\right)\left(b^2+2\right)\left(c^2+2\right)}\)

=>\(A>=\dfrac{2\left(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\right)+4\left(a^2+b^2+c^2\right)+24+4\left(a^2+b^2+c^2\right)}{2\left(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\right)+4\left(a^2+b^2+c^2\right)+8+8^2}\)(Vì abc=8)

Ta lại có: \(a^2+b^2+c^2>=3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=3\cdot\sqrt[3]{8^2}=12\)

=>\(4\left(a^2+b^2+c^2\right)>=48\)

=>\(A>=\dfrac{2\left(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\right)+4\left(a^2+b^2+c^2\right)+24+48}{2\left(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\right)+4\left(a^2+b^2+c^2\right)+8+64}\)

=>A>=1(ĐPCM)

18 tháng 3 2022

ảnh lỗi

31 tháng 10 2021

bài j vậy bn

31 tháng 10 2021

? đề đâu

5 tháng 9 2021

II.

1. D

2. A

3. B

4. C

5. D (đoán thế)

III.

1. playing

2. car

3. hobby

4. flu

5. weight

6. homeless

IV:

1. C

2. C

3. D

16 tháng 9 2021

I:Đáp án

1a

2b

3c

4a

5c

AH
Akai Haruma
Giáo viên
4 tháng 9 2021

Lời giải:

$\frac{b}{2}=\frac{c}{5}\Leftrightarrow \frac{b}{4}=\frac{c}{10}$

Vậy: $\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c}{10}$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

$\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c}{10}=\frac{a+b-c}{3+4-10}=\frac{3}{-3}=-1$

$\Rightarrow a=-1.3=-3; b=-1.4=-4; c=-1.10=-10$

4 tháng 9 2021

em cảm ơn ạ vui

3: Ta có: A=B|x-4|

\(\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-5}:\dfrac{1}{\sqrt{x}-5}=\left|x-4\right|\)

\(\Leftrightarrow\left|x-4\right|=\sqrt{x}-2\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-4=\sqrt{x}-2\left(x\ge4;x\ne25\right)\\x-4=2-\sqrt{x}\left(0< x< 4\right)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-\sqrt{x}-2=0\\x+\sqrt{x}-6=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=4\left(nhận\right)\\x=4\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

1: Thay x=9 vào A, ta được:

\(A=\dfrac{3-2}{3-5}=\dfrac{-1}{-2}=\dfrac{1}{2}\)

2: Ta có: \(B=\dfrac{3}{\sqrt{x}+5}+\dfrac{20-2\sqrt{x}}{x-25}\)

\(=\dfrac{3\sqrt{x}-15+20-2\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}+5\right)\left(\sqrt{x}-5\right)}\)

\(=\dfrac{1}{\sqrt{x}-5}\)

Cảm ơn bạn