Chung minh rang dieu kien can va du de p va 8p2+1 la cac so nguyen to la p=3
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
VV
0
KN
26 tháng 9 2020
a) Xét các trường hợp p nguyên tố:
* Xét p = 2 thì p2 + 8 = 22 + 8 = 12 (không là số nguyên tố, loại)
* Xét p = 3 thì p2 + 8 = 32 + 8 = 17 (là số nguyên tố, thỏa mãn). Khi đó p2 + 2 = 32 + 2 = 11 (là số nguyên tố, đpcm)
* Xét p > 3 thì p có dạng 3k + 1 hoặc 3k + 2 (k > 0)
+) Nếu p = 3k + 1 thì p2 + 8 = (3k + 1)2 + 8 = 9k2 + 6k + 9 = 3 (3k2 + 2k + 3)\(⋮\)3 mà 3 (3k2 +2k + 3) > 3 nên không là số nguyên tố (loại trường hợp này)
+) Nếu p = 3k + 2 thì p2 + 8 = (3k + 2)2 + 8 = 9k2 + 12k + 12 = 3 (3k2 + 6k + 4)\(⋮\)3 mà 3 (3k2 + 6k + 4) > 3 nên không là số nguyên tố (loại trường hợp này)
Vậy nếu p và p2 + 8 là các số nguyên tố thì p2 + 2 là số nguyên tố (đpcm)
b) Xét các trường hợp p nguyên tố:
* Xét p = 2 thì 8p2 + 1 = 8.22 + 1 = 33 (không là số nguyên tố, loại)
* Xét p = 3 thì 8p2 + 1 = 8.32 + 1 = 73 (là số nguyên tố, thỏa mãn). Khi đó 2p + 1 = 2.3 + 1 = 7 (là số nguyên tố, đpcm)
* Xét p > 3 thì p có dạng 3k + 1 hoặc 3k + 2 (k > 0)
+) Nếu p = 3k + 1 thì 8p2 + 1 = 8(3k + 1)2 + 1 = 8(9k2 + 6k + 1) + 1 = 3(24k2 + 16k + 3)\(⋮\)3 mà 3(24k2 + 16k + 3) > 3 nên không là số nguyên tố (loại trường hợp này)
+) Nếu p = 3k + 2 thì 8p2 + 1 = 8(3k + 2)2 + 1 = 8(9k2 + 12k + 4) + 1 = 3(24k2 + 32k + 11)\(⋮\)3 mà 3(24k2 + 32k + 11) > 3 nên không là số nguyên tố (loại trường hợp này)
Vậy nếu p và 8p2 + 1 là các số nguyên tố thì 2p + 1 là số nguyên tố (đpcm)
NT
1
17 tháng 8 2017
4n+3 và 2n+3 là 2 số nguyên tố cùng nhau \(\Leftrightarrow\)n=1
DA
1
24 tháng 4 2017
Giải:
Ta xét các trường hợp:
Nếu \(p=2\) thì \(p+20=22\) không là số nguyên tố (loại)
Nếu \(p=3\) thì \(\left\{{}\begin{matrix}p+20=23\\p+40=43\\p+80=83\end{matrix}\right.\) đều là số nguyên tố (chọn)
Nếu \(p>3\) thì ta có 2 dạng là \(\left[{}\begin{matrix}3k+1\\3k+2\end{matrix}\right.\)
\(*)\) Với \(p=3k+1\) ta có:
\(p+20=\left(3k+1\right)+20=3k+21\) \(=3\left(k+7\right)\)
Dễ thấy \(\left[{}\begin{matrix}3\left(k+7\right)⋮3\\3\left(k+7\right)>3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow3\left(k+7\right)\) là hợp số (loại)
\(*)\) Với \(p=3k+2\) ta có:
\(p+20=\left(3k+2\right)+40=3k+42\) \(=3\left(k+14\right)\)
Dễ thấy \(\left[{}\begin{matrix}3\left(k+14\right)⋮3\\3\left(k+14\right)>3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow3\left(k+14\right)\) là hợp số (loại)
Vậy với \(p=3\) thì \(p+80\) cũng là số nguyên tố (Đpcm)
ZV
2
28 tháng 3 2016
1/ *>p=2 thì p^2+2=6(loại vì 6 ko là số nghuyên tố)
*>p=3thì p^2+2=11(chọn vì 11 là số nghuyên tố)
=>p^3+2=3^3+2=29 (là số nghuyên tố)
*>p>3
vì p là số nguyên tố =>p ko chia hết cho 3 (1)
p thuộc Z =>p^2 là số chính phương (2)
từ (1),(2)=>p^2 chia 3 dư 1
=>p^2+2 chia hết cho 3 (3)
mặt khác p>3
=>p^2>9
=>p^2+2>11 (4)
từ (3),(4)=>p^2+2 ko là số nguyên tố (trái với đề bài)
nhầm đề , đây là bài đúng ! ^.^
28 tháng 3 2016
1/ *>p=2 thì p^2+2=6(loại vì 6 ko là số nghuyên tố)
*>p=3thì p^2+2=11(chọn vì 11 là số nghuyên tố)
=>p^3+2=3^3+2=29 (là số nghuyên tố)
*>p>3
vì p là số nguyên tố =>p ko chia hết cho 3 (1)
p thuộc Z =>p^2 là số chính phương (2)
từ (1),(2)=>p^2 chia 3 dư 1
=>p^2+2 chia hết cho 3 (3)
mặt khác p>3
=>p^2>9
=>p^2+2>11 (4)
từ (3),(4)=>p^2+2 ko là số nguyên tố (trái với đề bài)
2/ Đặt Q(x)=P(x)-(x+1)
Q(1999)=P(1999)-(1999+1)=2000-2000=0
Q(2000)=P(2000)-(2000+1)=2001-2001=0
=>x-1999,x-2000 là các nghiệm của Q(x)
Đặt Q(x)=(x-1999)(x-2000).g(x)
Do P(x) là đa thức bậc 3 có hệ số x^3 là số nguyên khác 0,-1
=>Q(x) là đa thức bậc 3 có hệ số x^3 là số nguyên khác 0,-1
=>g(x)có dạng ax+b (a thuộc Z,a khác 0,-1)
=>Q(x) =(x-1999)(x-2000).( ax+b)
=>P(x)=(x-1999)(x-2000).( ax+b)+( x+1)
P(2001)=(2001-1999)(2001-2000)
(a.2001+b)+(2001+1)
=2(2001a+b)+2002
=4002a+2b+2002
P(1998)= (1998-1999)(1998-2000)(a.1998+b)
+(1998+1)
=2(a.1998+b)+1999
=3996a+2b+1999
=>P(2001)- P(1998)= 4002a+2b+2002-3996a-2b-1999
=6a+3
=3(a+2)
Do a thuộc Z,a khác -1
=>a+2 thuộc Z,a+2 khác 1
=>3(a+2) chia hết cho 3 , 3(a+2) khác 3
=>3(a+2) là hợp số
=> P(2001) - P(1998) là hợp số
