Cho góc lượng giác $\alpha $. So sánha) ${\cos ^2}\alpha {\sin ^2}\alpha \,\,$ và 1b) $\tan \alpha .\cot \alpha \,\,$ và 1 với \(\cos \alpha \ne 0

#Toán lớp 11

1

HQ

Hà Quang Minh

Giáo viên

21 tháng 9 2023

a) ${\cos ^2}\alpha + {\sin ^2}\alpha = 1$

b) $\tan \alpha .\cot \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}.\frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = 1$

c) $\frac{{{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} = \frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} + \frac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} = {\tan ^2}\alpha + 1$

d) $\frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} = \frac{{{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} = \frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} + \frac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} = 1 + {\cot ^2}\alpha $

Chứng minh rằng với mọi góc $\alpha \;\;({0^o} \le \alpha \le {180^o})$, ta đều có:a) ${\cos ^2}\alpha + {\sin ^2}\alpha = 1$b) $\tan \alpha .\cot \alpha = 1\;({0^o} < \alpha < {180^o},\alpha \ne {90^o})$ c) $1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\;(\alpha \ne {90^o})$ d) \(1 + {\cot ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}\;({0^o} < \alpha <...

QT

Quoc Tran Anh Le

Giáo viên

25 tháng 9 2023

1

HQ

Hà Quang Minh

Giáo viên

25 tháng 9 2023

a)

Trên nửa đường tròn đơn vị, lấy điểm M sao cho $\widehat {xOM} = \alpha $

Gọi H, K lần lượt là các hình chiếu vuông góc của M trên Ox, Oy.

Ta có: tam giác vuông OHM vuông tại H và $\alpha = \widehat {xOM}$

Do đó: $\sin \alpha = \frac{{MH}}{{OM}} = MH;\;\cos \alpha = \frac{{OH}}{{OM}} = OH.$

$ \Rightarrow {\cos ^2}\alpha + {\sin ^2}\alpha = O{H^2} + M{H^2} = O{M^2} = 1$

b) Ta có:

$\begin{array}{l}\;\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }};\;\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}.\\ \Rightarrow \;\tan \alpha .\cot \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}.\frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = 1\end{array}$

c) Với $\alpha \ne {90^o}$ ta có:

$\begin{array}{l}\;\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }};\;\\ \Rightarrow \;1 + {\tan ^2}\alpha = 1 + \frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} = \frac{{{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\;\end{array}$

d) Ta có:

$\begin{array}{l}\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }};\;\\ \Rightarrow \;1 + {\cot ^2}\alpha = 1 + \frac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} = \frac{{{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}\;\end{array}$

B

Buddy

16 tháng 7 2023

Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau:

a) ${\sin ^4}\alpha - {\cos ^4}\alpha = 1 - 2{\cos ^2}\alpha $

b) $\tan \alpha + \cot \alpha = \frac{1}{{\sin \alpha .\cos \alpha }}$

#Toán lớp 11

1

QT

Quoc Tran Anh Le

Giáo viên

21 tháng 9 2023

a) Ta có:

$\begin{array}{l}{\sin ^4}\alpha - {\cos ^4}\alpha = 1 - 2{\cos ^2}\alpha \\ \Leftrightarrow \left( {{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha } \right)\left( {{{\sin }^2}\alpha - {{\cos }^2}\alpha } \right) = 1 - 2{\cos ^2}\alpha \\ \Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha - {\cos ^2}\alpha - 1 + 2{\cos ^2}\alpha = 0\\ \Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha - 1 = 0\\ \Leftrightarrow 1 - 1 = 0\\ \Leftrightarrow 0 = 0\end{array}$

Đẳng thức luôn đúng

b) Ta có:

$\begin{array}{l}\tan \alpha + \cot \alpha = \frac{1}{{\sin \alpha .\cos \alpha }}\\ \Leftrightarrow \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} + \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{1}{{\sin \alpha .\cos \alpha }}\\ \Leftrightarrow \frac{{{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha }}{{\cos \alpha .\sin \alpha }} = \frac{1}{{\sin \alpha .\cos \alpha }}\\ \Leftrightarrow \frac{1}{{\sin \alpha .\cos \alpha }} = \frac{1}{{\sin \alpha .\cos \alpha }}\end{array}$

Đẳng thức luôn đúng

TT

Thầy Tùng Dương

VIP

23 tháng 3 2022

a) Cho $\cos \alpha=\dfrac{3}{4}$ với $0^{\circ}<\alpha<90^{\circ}$. Tính $A=\dfrac{\tan \alpha+3 \cot \alpha}{\tan \alpha+\cot \alpha}$.

b) Cho $\tan \alpha=\sqrt{2}$. Tính $B=\dfrac{\sin \alpha-\cos \alpha}{\sin ^{3} \alpha+3 \cos ^{3} \alpha+2 \sin \alpha}$.

1

CT

Cao Thị Kim Ngân

18 tháng 7 2022

a) Ta có $A=\dfrac{\tan \alpha+3 \dfrac{1}{\tan \alpha}}{\tan \alpha+\dfrac{1}{\tan \alpha}}=\dfrac{\tan ^{2} \alpha+3}{\tan ^{2} \alpha+1}=\dfrac{\dfrac{1}{\cos ^{2} \alpha}+2}{\dfrac{1}{\cos ^{2} \alpha}}=1+2 \cos ^{2} \alpha$ Suy ra $\cdot \dfrac{9}{16}=\dfrac{17}{8}$ .

b) $B=\dfrac{\dfrac{\sin \alpha}{\cos ^{3} \alpha}-\dfrac{\cos \alpha}{\cos ^{3} \alpha}}{\dfrac{\sin ^{3} \alpha}{\cos ^{3} \alpha}+\dfrac{3 \cos ^{3} \alpha}{\cos ^{3} \alpha}+\dfrac{2 \sin \alpha}{\cos ^{3} \alpha}}=\dfrac{\tan \alpha\left(\tan ^{2} \alpha+1\right)-\left(\tan ^{2} \alpha+1\right)}{\tan ^{3} \alpha+3+2 \tan \alpha\left(\tan ^{2} \alpha+1\right)}$ .

Suy ra $B=\dfrac{\sqrt{2}(2+1)-(2+1)}{2 \sqrt{2}+3+2 \sqrt{2}(2+1)}=\dfrac{3(\sqrt{2}-1)}{3+8 \sqrt{2}}$ .

QT

Quoc Tran Anh Le

Giáo viên

24 tháng 9 2023

Chứng minh các hệ thức sau:

a) ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$.

b) $1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\quad (\alpha \ne {90^o})$

c) $1 + {\cot ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}\quad ({0^o} < \alpha < {180^o})$

2

KS

Kiều Sơn Tùng

24 tháng 9 2023

Tham khảo:

a)

Gọi M(x;y) là điểm trên đường tròn đơn vị sao cho $\widehat {xOM} = \alpha $. Gọi N, P tương ứng là hình chiếu vuông góc của M lên các trục Ox, Oy.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}x = \cos \alpha \\y = \sin \alpha \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\cos ^2}\alpha = {x^2}\\{\sin ^2}\alpha = {y^2}\end{array} \right.$(1)

Mà $\left\{ \begin{array}{l}\left| x \right| = ON\\\left| y \right| = OP = MN\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} = {\left| x \right|^2} = O{N^2}\\{y^2} = {\left| y \right|^2} = M{N^2}\end{array} \right.$(2)

Từ (1) và (2) suy ra ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = O{N^2} + M{N^2} = O{M^2}$ (do $\Delta OMN$ vuông tại N)

$ \Rightarrow {\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$ (vì OM =1). (đpcm)

HQ

Hà Quang Minh

Giáo viên

24 tháng 9 2023

b)

Ta có: $\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\;\;(\alpha \ne {90^o})$

$ \Rightarrow 1 + {\tan ^2}\alpha = 1 + \frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} = \frac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} + \frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} = \frac{{{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }}$

Mà theo ý a) ta có ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$ với mọi góc $\alpha $

$ \Rightarrow 1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}$ (đpcm)

c)

Ta có: $\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}\;\;\;({0^o} < \alpha < {180^o})$

$ \Rightarrow 1 + {\cot ^2}\alpha = 1 + \frac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} = \frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} + \frac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} = \frac{{{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }}$

Mà theo ý a) ta có ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$ với mọi góc $\alpha $

$ \Rightarrow 1 + {\cot ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}$ (đpcm)

Chứng minh các đẳng thức sau: a, $\sin^4\alpha-\cos^4\alpha+1=2\sin^2\alpha$ b,$\dfrac{\sin^2\alpha+2\cos^2\alpha-1}{\cot^2\alpha}=\sin^2\alpha$ c, $\dfrac{1-\sin^2\alpha.\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha}-\cos^2\alpha=\tan^2\alpha$ d, $\dfrac{\sin^2\alpha-\tan^2\alpha}{\cos^2\alpha-\cot^2\alpha}=\tan^6\alpha$ e,...

NT

Nguyễn Thùy Dương

16 tháng 4 2018

3

AH

Akai Haruma

Giáo viên

1 tháng 10 2018

a)

$\sin ^4a-\cos ^4a+1=(\sin ^2a-\cos ^2a)(\sin ^2a+\cos^2a)+1$

$=(\sin ^2a-\cos ^2a).1+1=\sin ^2a-\cos ^2a+\sin ^2a+\cos ^2a$

$=2\sin ^2a$

b) $\sin ^2a+2\cos ^2a-1=(\sin ^2a+\cos^2a)+\cos ^2a-1$

$=1+\cos ^2a-1=\cos ^2a$

$\Rightarrow \frac{\sin ^2a+2\cos ^2a-1}{\cot ^2a}=\frac{\cos ^2a}{\cot ^2a}=\frac{\cos ^2a}{\frac{\cos ^2a}{\sin ^2a}}=\sin ^2a$

c)

$\frac{1-\sin ^2a\cos ^2a}{\cos ^2a}-\cos ^2a=\frac{1}{\cos ^2a}-\sin ^2a-\cos ^2a$

$=\frac{1}{\cos ^2a}-(\sin ^2a+\cos ^2a)=\frac{1}{\cos ^2a}-1$

$=\frac{1-\cos ^2a}{\cos ^2a}=\frac{\sin ^2a}{\cos ^2a}=\tan ^2a$

AH

Akai Haruma

Giáo viên

1 tháng 10 2018

d)

$\frac{\sin ^2a-\tan ^2a}{\cos ^2a-\cot ^2a}=\frac{\sin ^2a-\frac{\sin ^2a}{\cos ^2a}}{\cos ^2a-\frac{\cos ^2a}{\sin ^2a}}$ $=\frac{\sin ^2a(1-\frac{1}{\cos ^2a})}{\cos ^2a(1-\frac{1}{\sin ^2a})}$

$=\frac{\sin ^2a.\frac{\cos ^2a-1}{\cos ^2a}}{\cos ^2a.\frac{\sin ^2a-1}{\sin ^2a}}$ $=\frac{\sin ^2a.\frac{-\sin ^2a}{\cos ^2a}}{\cos ^2a.\frac{-\cos ^2a}{\sin ^2a}}=\frac{\sin ^6a}{\cos ^6a}=\tan ^6a$

f)

$\frac{(\sin a+\cos a)^2-1}{\cot a-\sin a\cos a}=\frac{\sin ^2a+\cos ^2a+2\sin a\cos a-1}{\frac{\cos a}{\sin a}-\sin a\cos a}$

$=\sin a.\frac{1+2\sin a\cos a-1}{\cos a-\cos a\sin ^2a}$

$=\sin a. \frac{2\sin a\cos a}{\cos a(1-\sin ^2a)}=\sin a. \frac{2\sin a\cos a}{\cos a. \cos^2 a}=\frac{2\sin ^2a}{\cos ^2a}=2\tan ^2a$

NH

Nhi Hoàng

12 tháng 9 2023

1/ Cho $cot\alpha=\sqrt{5}$ . Tính $C=sin^2\alpha-sin\alpha cos\alpha+cos^2\alpha$

2/ Cho $tan\alpha=3$ . Tính $B=\dfrac{sin\alpha-cos\alpha}{sin^3\alpha+3cos^3\alpha+2sin\alpha}$

#Toán lớp 11

2

ND

Nguyễn Đức Trí

VIP

12 tháng 9 2023

1) $cot\alpha=\sqrt[]{5}\Rightarrow tan\alpha=\dfrac{1}{\sqrt[]{5}}$

$C=sin^2\alpha-sin\alpha.cos\alpha+cos^2\alpha$

$\Leftrightarrow C=\dfrac{1}{cos^2\alpha}\left(tan^2\alpha-tan\alpha+1\right)$

$\Leftrightarrow C=\left(1+tan^2\alpha\right)\left(tan^2\alpha-tan\alpha+1\right)$

$\Leftrightarrow C=\left(1+\dfrac{1}{5}\right)\left(\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{\sqrt[]{5}}+1\right)$

$\Leftrightarrow C=\dfrac{6}{5}\left(\dfrac{6}{5}-\dfrac{\sqrt[]{5}}{5}\right)=\dfrac{6}{25}\left(6-\sqrt[]{5}\right)$

Đúng(1)

NL

Nguyễn Lê Phước Thịnh

12 tháng 9 2023

1: $cota=\sqrt{5}$

=>$cosa=\sqrt{5}\cdot sina$

$1+cot^2a=\dfrac{1}{sin^2a}$

=>$\dfrac{1}{sin^2a}=1+5=6$

=>$sin^2a=\dfrac{1}{6}$

$C=sin^2a-sina\cdot\sqrt{5}\cdot sina+\left(\sqrt{5}\cdot sina\right)^2$

$=sin^2a\left(1-\sqrt{5}+5\right)=\dfrac{1}{6}\cdot\left(6-\sqrt{5}\right)$

2: tan a=3

=>sin a=3*cosa

$1+tan^2a=\dfrac{1}{cos^2a}$

=>$\dfrac{1}{cos^2a}=1+9=10$
=>$cos^2a=\dfrac{1}{10}$

$B=\dfrac{3\cdot cosa-cosa}{27\cdot cos^3a+3\cdot cos^3a+2\cdot3\cdot cosa}$

$=\dfrac{2\cdot cosa}{30cos^3a+6cosa}=\dfrac{2}{30cos^2a+6}$

$=\dfrac{2}{3+6}=\dfrac{2}{9}$

Đúng(1)

NT

Nguyễn Trần Đức Huy

16 tháng 3 2022

Cho $\tan\alpha-5\cot\alpha+4=0.$. Tính $A=\frac{4\sin\alpha+2\cos\alpha}{3\sin\alpha-\cos\alpha}$

1

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

16 tháng 3 2022

$tana-5cota+4=0\Rightarrow tana-\dfrac{5}{tana}+4=0$

$\Rightarrow tan^2a+4tana-5=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}tana=1\\tana=-5\end{matrix}\right.$

$A=\dfrac{4sina+2cosa}{3sina-cosa}=\dfrac{\dfrac{4sina}{cosa}+\dfrac{2cosa}{cosa}}{\dfrac{3sina}{cosa}-\dfrac{cosa}{cosa}}=\dfrac{4tana+2}{3tana-1}=\left[{}\begin{matrix}3\\\dfrac{9}{8}\end{matrix}\right.$

a) Biết sinα= $\frac{1}{2}$. Tính cosα, tanα, cotα. b) Biết cosα= $\frac{2}{5}$. Tính sinα, tanα, cotα. c) Biết tanα= 3. Tính cosα, sinα, cotα. d) Biết cotα=$\sqrt{3}$. Tính cosα, tanα, sinα. e) Biết sinα= $\frac{1}{\sqrt{3}}$. Tính cosα, tanα,...

NP

Nguyễn Phương Thảo

16 tháng 8 2020