Cho \(\Delta ABC\) ngoại tiếp đường tròn (I). Một đường tròn qua B, C cắt BI, CI lần tại P, Q sao cho \(BP.CQ=PI.QI\). Chứng minh rằng: a) \(\left(PQI\right)\) tiếp xúc với \(\left(ABC\right)\) (gọ...

LS

Lê Song Phương

28 tháng 8 2023 - olm

Cho \(\Delta ABC\) ngoại tiếp đường tròn (I). Một đường tròn qua B, C cắt BI, CI lần tại P, Q sao cho \(BP.CQ=PI.QI\). Chứng minh rằng: a) \(\left(PQI\right)\) tiếp xúc với \(\left(ABC\right)\) (gọi tiếp điểm là T) b) IT đi qua trung điểm của đoạn...

Đọc tiếp

#Toán lớp 10

0

HB

Hiền Bùi Ngọc

30 tháng 11 2019 - olm

Cho 2 đường tròn (O;R) và (O';R') tiếp xúc ngoài tại A (R>R'). Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC của 2 đường trong \(B\in\left(O;R\right)\);\(C\in\left(O';R'\right)\)a) Tam giác ABC là tam giác gì? Tại sao?b) BA cắt (O';R') tại E. Chứng minh rằng BC2=BE.CDc) Chứng minh rằng OO' là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABCGiúp mình với...

Đọc tiếp

#Toán lớp 9

0

NH

Nguyễn Huệ Lam

11 tháng 2 2018 - olm

Cho đoạn thẳng AB cố định và điểm C sao cho \(\widehat{ACB}=\alpha\) không đổi \(\left(0^o< \alpha< 180^o\right)\). Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh AB, BC, CA lần lượt tại D, E, F. Các đường thẳng AI, BI cắt EF tại M, Na) Chứng min BM vuông góc với AIb) MN có độ dài không đổic) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN luôn đi qua một điểm cố...

Đọc tiếp

#Toán lớp 9

1

CH

Cô Hoàng Huyền

Admin VIP

1 tháng 3 2018

a) Giả sử AB < AC. (Các trường hợp khác chứng minh tương tự)

Ta có tam giác CEF cân tại C nên \(\widehat{CEF}=\frac{180^o-\widehat{C}}{2}\)

\(\Rightarrow\widehat{MEB}=\frac{180^o-\widehat{C}}{2}\)

Ta có \(\widehat{MIB}=\widehat{IAB}+\widehat{IBA}=\frac{\widehat{A}+\widehat{B}}{2}=\frac{180^o-\widehat{C}}{2}\)

Hay \(\widehat{MEB}=\widehat{MIB}\). Suy ra tứ giác EMBI là tứ giác nội tiếp.

\(\widehat{IMB}=\widehat{IEB}=90^o\Rightarrow MB\perp AI.\)

b) Chứng minh tương tự \(\widehat{ANI}=90^o\Rightarrow\) tứ giác ANMB nội tiếp đường tròn đường kính AB cố định.

Mà \(\widehat{MBN}=90^o-\widehat{MIB}=\frac{\widehat{ACB}}{2}=\frac{\alpha}{2}=const\)

Do MN là dây cung chắn một góc không đổi trên đường tròn đường kính AB nên độ dài MN không đổi.

c) Gọi O là trung điểm AB thì \(\widehat{MON}=2.\widehat{MBN}=\alpha\)

Do tứ giác IMBD nội tiếp nên \(\widehat{IDM}=\widehat{IBM}=\frac{\alpha}{2}\)

Tương tự : \(\widehat{IDN}=\frac{\alpha}{2}\)

Do đó \(\widehat{MDN}=\alpha=\widehat{NOM}\)

Suy ra tứ giác MNDO nội tiếp hay O thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN.

Do đó đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN luôn đi qua điểm O cố định khi C thay đổi.

Đúng(0)

PG

Phùng Gia Bảo

20 tháng 2 2020 - olm

Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Vẽ tiếp tuyến chung MN của (O) và (O') với \(M\in\left(O\right), N\in\left(O'\right)\)và A nằm trong tam giác BMN. Tiếp tuyến tại A của (O) cắt (O') C, MA cắT NC tại D. Chứng minh rằng:a) \(\widehat{NAD}=\widehat{ABD}\)b) ND tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp \(\Delta...

Đọc tiếp

#Toán lớp 9

0

PT

Pham Trong Bach

29 tháng 4 2018

Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I). Các tia AI, BI, CI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D, E, F. Dây EF cắt AB, AC lần lượt tại M và N. Chứng minh:

a, DI = DB

b, AM = AN

#Toán lớp 9

1

CM

Cao Minh Tâm

29 tháng 4 2018

Hs tự làm

Đúng(0)

CN

Cmt Ngại Vl

13 tháng 8 2020 - olm

Câu hỏi hay

Cho tam giác ABC với hai đường phân giác trong BB', CC' cắt nhau tại I. Đường thẳng vuông góc với IA tại A lần lượt cắt BI, Ci tại K và M. Đường thẳng B'C' cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại N, E. Chứng minh rằng các điểm M,N,E,K cùng thuộc một đường tròn.

#Toán lớp 10

1

UI

Upin & Ipin

18 tháng 8 2020

De chung minh M la tam duong tron bang tiep goc C cua tam giac ABC

\(\Rightarrow\widehat{MAI}=\widehat{MBI}=90^0\) => tu giac MAIN noi tiep

=> \(C'I.C'M=C'B.C'A\left(1\right)\)

Mat khac xet (O) ta cung co \(C'B.C'A=C'N.C'E\left(2\right)\)

Tu (1) va (2) suy ra \(C'I.C'M=C'E.C'N\)

suy ra tu giac MEIN noi tiep (*)

chung minh tuong tu cung co tu giac EINK noi tiep (**)

tu (*) va(**) ta co dpcm

Đúng(0)

KN

Khiêm Nguyễn Gia

2 tháng 1

Cho các đường tròn \(\left(O_1;R_1\right)\) và \(\left(O_2;R_2\right)\) tiếp xúc trong tại \(P\) \(\left(R_2R_1\right)\). Tiếp tuyến tại \(A\) của đường tròn \(\left(O_1\right)\) cắt \(\left(O_2\right)\) tại \(B\) và \(C\). Chứng minh rằng: \(PA\) là tia phân giác của...

Đọc tiếp

#Toán lớp 9

0

KN

Khiêm Nguyễn Gia

2 tháng 1 - olm

Cho các đường tròn \(\left(O_1;R_1\right)\) và \(\left(O_2;R_2\right)\) tiếp xúc trong tại \(P\) \(\left(R_2R_1\right)\). Tiếp tuyến tại \(A\) của đường tròn \(\left(O_1\right)\) cắt \(\left(O_2\right)\) tại \(B\) và \(C\). Chứng minh rằng: \(PA\) là tia phân giác...

Đọc tiếp

#Toán lớp 9

1

LS

Lê Song Phương

2 tháng 1

Gọi Q là giao điểm của PA và (O₂). Do \(\widehat{O_1AP}=\widehat{O_1PA}=\widehat{O_2PQ}=\widehat{O_2QP}\) nên O₁A//O₂Q

Mặt khác, \(BC\perp O_1A\) (vì BC là tiếp tuyến tại A của (O₁) nên \(BC\perp O_2Q\)

\(\Rightarrow\) Q là điểm chính giữa của cung nhỏ BC

\(\Rightarrow\) PQ là tia phân giác \(\widehat{BPC}\) \(\Rightarrow\) đpcm

Đúng(1)

NT

Nguyễn Thị Thủy

19 tháng 11 2019 - olm

Cho tam giác ABC có tâm nội tiếp I, đường cao AH. Đường tròn (I) tiếp xúc với AC,AB lần lượt tại E,F. BI,CI cắt đường cao AH lần lượt tại Q,R. Chứng minh rằng trục đẳng phương của (QFB) và (REC) chia đôi AH.

#Toán lớp 9

1

NT

Nguyễn Tất Đạt

19 tháng 11 2019

Gọi D là tiếp điểm giữa (I) và BC. K là điểm đối xứng với D qua H.

Ta dễ chứng minh \(\Delta\)CER = \(\Delta\)CDR (c.g.c). Suy ra ^CER = ^CDR = 180⁰ - ^RDK = 180⁰ - ^RKC

Do đó tứ giác CERK nội tiếp. Tương tự tứ giác BFQK nội tiếp. Từ đó (REC) cắt (QFB) tại K

Gọi G là giao điểm thứ hai của (REC) và (QFB); DI cắt lại (AEF) ở L. Khi đó G là điểm Miquel trong \(\Delta\)ABC

Suy ra G thuộc đường tròn (AEIF). Ta có ^GRI = ^GKB = ^GQB. Suy ra 4 điểm G,R,I,Q đồng viên

Ta lại có AI là đường kính của (AELIF) nên AL // HD (Cùng vuông góc ID), và AL = HD = HK (1)

Từ đó có biến đổi góc ^IGL + ^IGQ + ^QGK = ^IAL + ^IRQ + ^QBK = ^BAC/2 + ^ACB + 90⁰ - ^ACB/2 + ^ABC/2 = 180⁰

Suy ra ba điểm K,G,L thẳng hàng (2)

Từ (1) và (2) suy ra KG chia đôi AH hay trục đẳng phương của (REC) và (QFB) chia đôi AH (đpcm).

Đúng(0)

LM

Lê Minh Đức

20 tháng 9 2017 - olm

Cho tam giác ABC nội tiếp (O) có B, C cố định, A chuyển động. Hai tiếp tuyến tại B, C của (O) cắt nhau tại điểm P. Đường tròn đường kính OP cắt AB, AC lần lượt tại D, E. DE cắt PB, PC lần lượt tại Q, R.

a) Chứng minh rằng OA vuông góc với DE.

b) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR luông tiếp xúc với một đường tròn cố định.

#Toán lớp 9

1

NT

Nguyễn Tất Đạt

21 tháng 7 2019

a) Ta có O là tâm ngoại tiếp \(\Delta\)ABC nên ^OAC = 90⁰ - ^ABC hay ^OAC + ^ABC = 90⁰

Đường tròn đường kính OP cắt AB,AC tại D,E => ^ABC = ^AED. Do đó ^OAC + ^AED = 90⁰

Suy ra OA vuông góc với DE (đpcm).

b) Bổ đề (Quan sát hình bên phải) Xét tam giác ABC nội tiếp đường tròn. Một đường tròn (R) tiếp xúc với hai cạnh AB,AC đồng thời tiếp xúc trong với đường tròn (ABC) lần lượt tại M,N,P. Khi đó MN đi qua tâm nội tiếp của tam giác ABC.

Thật vậy: Gọi I là tâm nội tiếp \(\Delta\)ABC. Ta thấy R vừa tiếp xúc dây AC tại N, vừa tiếp xúc trong với (ABC) tại P

Từ đó dễ suy ra PN đi qua điểm chính giữa (AC. Tương tự PM đi qua điểm chính giữa (AB

Gọi PM,PN cắt (ABC) lần lượt tại F,E thì CF cắt BE tại I (Vì I là tâm nội tiếp \(\Delta\)ABC)

Áp dụng ĐL Pascal cho bộ 6 điểm F,A,E,B,P,C ta thu được M,I,N thẳng hàng.

Quay trở lại bài toán: Gọi T là trung điểm OP. Hạ TH,TM,TN lần lượt vuông góc với DE,PB,PC

Có ^PEC = ^PBC = ^CAB => PE // AD. Tương tự PD // AE, suy ra tứ giác ADPE là hình bình hành

Dễ thấy T là tâm của (OP) và ^ETD = 2^EPD = 2^BAC = Sđ(BC_(O) = const

Mà TD = TE = OP/2 = const nên độ dài đường cao của \(\Delta\)DTE không đổi hay TH = const

\(\Delta\)HTE = \(\Delta\)MTP = \(\Delta\)NTP (Ch.gn) => TH = TM = TN. Do vậy T cố định và là tâm nội tiếp \(\Delta\)PQR

Nếu ta gọi (S) là đường tròn tiếp xúc với PQ,PR lần lượt tại K,L và tiếp xúc trong với (PQR)

Thì lúc này K,T,L thẳng hàng (Bổ đề). Theo tính chất 2 tiếp tuyến giao nhau thì PK = PL

=> \(\Delta\)KPL cân tại P và nhận PT làm đường cao. Ta thấy P,T,N đều cố định (cmt) nên PT,PN không đổi

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông có PT² = PN.PL => PL = const

Ta lại có PL² = PT.PS, từ đây có PS = const. Mà S nằm trên tia PT cố định nên S cố định

Đồng thời SL² = SK² = PS² - PL² = const. Suy ra đường tròn (S) cố định

Vậy thì đường tròn ngoại tiếp \(\Delta\)PQR luôn tiếp xúc với đường tròn (S) cố định (đpcm).

*) Nhận xét: Đường tròn (R) được nêu trong bổ đề chính là đường tròn Mixtilinear của tam giác ABC.

Đúng(0)

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP