cho\(x+y+z=2\) và \(x,y,z\) thuộc tập hợp số nguyên
CMR: \(P=\left(yz+2x\right)\left(zx+xy\right)\left(xy+2z\right)\) là số chính phương
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
19 tháng 7 2017
Áp dụng holder ta có:
\(\left(1+1+1\right)\left(x^2y+y^2z+z^2x\right)\left(xy^2+yz^2+zx^2\right)\)
\(\ge\left(\sqrt[3]{x^4yz}+\sqrt{y^4zx}+\sqrt{z^4xy}\right)^3=xyz\left(x+y+z\right)^3\)
Dạo này bận lắm nên cũng lười luôn nên thông cảm.
15 tháng 4 2020
Bài này làm được theo 1 cách khác nhưng phải áp dụng 2 lần bđt
lần 1 dùng bđt Schur
lần 2 dùng AM-GM
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
17 tháng 8 2021
\(\left(xy+yz+zx\right)^2\ge3xyz\left(x+y+z\right)=9\Rightarrow xy+yz+zx\ge3\)
\(2\left(x^2+y^2\right)-xy\ge\left(x+y\right)^2-\dfrac{1}{4}\left(x+y\right)^2=\dfrac{3}{4}\left(x+y\right)^2\)
Tương tự và nhân vế với vế:
\(VT\ge\dfrac{27}{64}\left[\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\right]^2\)
Mặt khác ta có:
\(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)-xyz\)
\(\ge\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)-\sqrt[3]{xyz}.\sqrt[3]{xy.yz.zx}\)
\(\ge\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+xz\right)-\dfrac{1}{9}\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)\)
\(=\dfrac{8}{9}\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)\ge\dfrac{8}{9}\sqrt{3\left(xy+yz+zx\right)}.\left(xy+yz+zx\right)\)
\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{27}{64}.\dfrac{64}{81}.3\left(xy+yz+zx\right)^3\ge3^3=27\) (đpcm)
14 tháng 1 2018
Do \(x+y+z=0\)
\(\Rightarrow x=-\left(y+z\right)\Rightarrow x^2=\left(y+z\right)^2\Rightarrow4yz-x^2=4yz-\left(y+z^2\right)=-\left(y-z\right)^2\)
Tương tự \(4zx-y^2=-\left(z-x\right)^2\)
\(4xy-z^2=-\left(x-y\right)^2\)
Ta lại có: \(yz+2x^2=yz+x^2-x\left(y+z\right)=yz+x^2-xy-xz=\left(x-y\right)\left(x-z\right)\)
Tương tự: \(zx+2y^2=\left(y-x\right)\left(y-z\right)\)
\(xy+2z^2=\left(y-z\right)\left(y-y\right)\)
\(P=\frac{\left(4yz-x^2\right)\left(4zx-y^2\right)\left(4xy-z^2\right)}{\left(yz+2x^2\right)\left(zx+2y^2\right)\left(xy+2z^2\right)}=\frac{-\left(y-z\right)^2\left(z-x\right)^2\left(x-y^2\right)}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)\left(y-x\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)\left(z-y\right)}\)
\(=\frac{-\left(y-z\right)^2\left(z-x\right)^2\left(x-y\right)^2}{-\left(y-z\right)^2\left(z-x\right)^2\left(x-y\right)^2}=1\)
19 tháng 10 2017
Xem lại cái đề đi Tuyển. Hình như giá trị nhỏ nhất của cái biểu thức dưới còn lớn hơn là 1 thì làm sao bài đó có giá trị x, y, z thỏa được mà bảo tính A.
