Tính đạo hàm của hảm số \(f\left( x \right) = {x^3}\).
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
HQ
Hà Quang Minh
Giáo viên
22 tháng 9 2023
a) Với bất kì \({x_0} \in \mathbb{R}\), ta có:
\(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\left( { - {x^2}} \right) - \left( { - x_0^2} \right)}}{{x - {x_0}}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{ - \left( {{x^2} - x_0^2} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{ - \left( {x - {x_0}} \right)\left( {x + {x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( { - x - {x_0}} \right) = - {x_0} - {x_0} = - 2{{\rm{x}}_0}\)
Vậy \(f'\left( x \right) = {\left( { - {x^2}} \right)^\prime } = - 2x\) trên \(\mathbb{R}\).
b) Với bất kì \({x_0} \in \mathbb{R}\), ta có:
\(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\left( {{x^3} - 2{\rm{x}}} \right) - \left( {x_0^3 - 2{{\rm{x}}_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{{x^3} - 2{\rm{x}} - x_0^3 + 2{{\rm{x}}_0}}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\left( {{x^3} - x_0^3} \right) - 2\left( {x - {x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\left( {x - {x_0}} \right)\left( {{x^2} + x.{x_0} + x_0^2} \right) - 2\left( {x - {x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\left( {x - {x_0}} \right)\left( {{x^2} + x.{x_0} + x_0^2 - 2} \right)}}{{x - {x_0}}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {{x^2} + x.{x_0} + x_0^2 - 2} \right) = x_0^2 + {x_0}.{x_0} + x_0^2 - 2 = 3{\rm{x}}_0^2 - 2\)
Vậy \(f'\left( x \right) = {\left( {{x^3} - 2{\rm{x}}} \right)^\prime } = 3{{\rm{x}}^2} - 2\) trên \(\mathbb{R}\).
c) Với bất kì \({x_0} \ne 0\), ta có:
\(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\frac{4}{x} - \frac{4}{{{x_0}}}}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\frac{{4{x_0} - 4x}}{{x{x_0}}}}}{{x - {x_0}}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{4{x_0} - 4x}}{{x{x_0}\left( {x - {x_0}} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{ - 4\left( {x - {x_0}} \right)}}{{x{x_0}\left( {x - {x_0}} \right)}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{ - 4}}{{x{{\rm{x}}_0}}} = \frac{{ - 4}}{{{x_0}.{x_0}}} = - \frac{4}{{x_0^2}}\)
Vậy \(f'\left( x \right) = {\left( {\frac{4}{x}} \right)^\prime } = - \frac{4}{{{x^2}}}\) trên các khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right)\).
B
1
26 tháng 8 2023
Ta có:\(\left(x^{10}\right)'=10x^9\).
Từ đó:\(y'\left(-1\right)=10.\left(-1\right)^9=-10\) và \(y'\left(\sqrt[3]{2}\right)=10.\left(\sqrt[3]{2}\right)^9=80\).
QT
Quoc Tran Anh Le
Giáo viên
22 tháng 9 2023
\(f'\left( x \right) = - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}} \Rightarrow f'\left( { - \frac{\pi }{3}} \right) = - \frac{1}{{{{\sin }^2}\left( { - \frac{\pi }{3}} \right)}} = - \frac{4}{3}\)
QT
Quoc Tran Anh Le
Giáo viên
22 tháng 9 2023
Xét \(\Delta x\) là số gia của biến số tại điểm x
Ta có:
\(\begin{array}{l}\Delta y = f\left( {x + \Delta x} \right) - f\left( x \right) = {\left( {x + \Delta x} \right)^3} - {x^3} = \left( {x + \Delta x - x} \right)\left[ {x{{\left( {x + \Delta x} \right)}^2} + x.\left( {x + \Delta x} \right) + {x^2}} \right]\\ = \Delta x\left( {{x^2} + 2x.\Delta x + {{\left( {\Delta x} \right)}^2} + {x^2} + x.\Delta x + {x^2}} \right) = \Delta x.\left( {3{x^2} + {{\left( {\Delta x} \right)}^2} + 3x.\Delta x} \right)\\ \Rightarrow \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = 3{x^2} + {\left( {\Delta x} \right)^2} + 3x.\Delta x\end{array}\)
Ta thấy:
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {3{x^2} + {{\left( {\Delta x} \right)}^2} + 3x.\Delta x} \right) = 3{x^2}\\ \Rightarrow f'\left( x \right) = 3{x^2}\end{array}\)
ND
Nguyễn Đức Trí
VIP
15 tháng 9 2023
1) \(f\left(x\right)=2x-5\)
\(f'\left(x\right)=2\)
\(\Rightarrow f'\left(4\right)=2\)
2) \(y=x^2-3\sqrt[]{x}+\dfrac{1}{x}\)
\(\Rightarrow y'=2x-\dfrac{3}{2\sqrt[]{x}}-\dfrac{1}{x^2}\)
3) \(f\left(x\right)=\dfrac{x+9}{x+3}+4\sqrt[]{x}\)
\(\Rightarrow f'\left(x\right)=\dfrac{1.\left(x+3\right)-1.\left(x+9\right)}{\left(x-3\right)^2}+\dfrac{4}{2\sqrt[]{x}}\)
\(\Rightarrow f'\left(x\right)=\dfrac{x+3-x-9}{\left(x-3\right)^2}+\dfrac{2}{\sqrt[]{x}}\)
\(\Rightarrow f'\left(x\right)=\dfrac{12}{\left(x-3\right)^2}+\dfrac{2}{\sqrt[]{x}}\)
\(\Rightarrow f'\left(x\right)=2\left[\dfrac{6}{\left(x-3\right)^2}+\dfrac{1}{\sqrt[]{x}}\right]\)
\(\Rightarrow f'\left(1\right)=2\left[\dfrac{6}{\left(1-3\right)^2}+\dfrac{1}{\sqrt[]{1}}\right]=2\left(\dfrac{3}{2}+1\right)=2.\dfrac{5}{2}=5\)
B
1
HQ
Hà Quang Minh
Giáo viên
22 tháng 8 2023
\(f'\left(3\right)=\lim\limits_{x\rightarrow3}\dfrac{f\left(x\right)-f\left(3\right)}{x-3}\\ =\lim\limits_{x\rightarrow3}\dfrac{2x-6}{x-3}\\ =2\)
Với bất kì \({x_0} \in \mathbb{R}\), ta có:
\(\begin{array}{l}f\prime ({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{{x^3} - {x_0}^3}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\left( {x - {x_0}} \right)\left( {{x^2} + x.{x_0} + {x_0}^2} \right)}}{{x - {x_0}}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {{x^2} + x.{x_0} + {x_0}^2} \right) = {x^2} + {x_0}.{x_0} + {x_0}^2 = 3{x_0}^2\end{array}\)
Vậy \(f'\left( x \right) = {\left( {{x^3}} \right)^\prime } = 3{{\rm{x}}^2}\) trên \(\mathbb{R}\).