cho a, b, c>0 và a+b+c=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của P=1/2a-a² + 1/2b-b² + 1/2c-c²
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
24 tháng 12 2022
\(A=\dfrac{x-4+5}{\sqrt{x}-2}=\dfrac{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)+5}{\sqrt{x}-2}=\sqrt{x}+2+\dfrac{5}{\sqrt{x}-2}\)
\(=\sqrt{x}-2+\dfrac{5}{\sqrt{x}-2}+4\ge2\sqrt{\dfrac{5\left(\sqrt{x}-2\right)}{\sqrt{x}-2}}+4=4+2\sqrt{5}\)
\(A_{min}=4+2\sqrt{5}\) khi \(9+4\sqrt{5}\)
b.
Đặt \(\left(a;b;c\right)=\left(\dfrac{1}{x};\dfrac{1}{y};\dfrac{l}{z}\right)\Rightarrow xyz=1\)
\(B=\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{z+x}+\dfrac{z^2}{x+y}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\dfrac{x+y+z}{2}\ge\dfrac{3\sqrt[3]{xyz}}{2}=\dfrac{3}{2}\)
\(B_{min}=\dfrac{3}{2}\) khi \(x=y=z=1\Rightarrow a=b=c=1\)
PD
0
DT
28 tháng 3 2018
Dùng Cô-si ngược dấu:
Ta có : a\(1+b^2)=a-(ab^2/(1+b^2))>=a-(ab^2/2b)=...
Tương tự ta có:b/(1+c^2)>=b-bc/2
c/(1+a^2)>=c-ac/2
Cộng vế với vế ta có A>=(a+b+c)-(ab+bc+ca)/2
Mà 3(ab+bc+ca)<=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca
<=>3(ab+bc+ca)<=(a+b+c)^2
<=>-(ab+bc+ca)>=-(a+b+c)^2/3
Thay vào ta có: A>=(a+b+c)-(a+b+c)^2/6=3/2
Dấu = xảy ra<=>a=b=c=1/3
NN
Nguyễn Ngọc Anh Minh
CTVHS
VIP
9 tháng 11 2023
1/\(=4a^2+4b^2+c^2+8ab-4bc-4ca+4b^2+4c^2+a^2+8bc-4ca-4ab+4a^2+4c^2+b^2+8ca-4bc-4ab=\)
\(=9a^2+9b^2+9c^2=9\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
2/
Ta có
\(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge-2\left(ab+bc+ca\right)=2\)
\(\Rightarrow P=9\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge18\)
\(\Rightarrow P_{min}=18\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
12 tháng 5 2021
\(\sqrt{2a^2+ab+2b^2}=\sqrt{\dfrac{3}{2}\left(a^2+b^2\right)+\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2}\ge\sqrt{\dfrac{3}{4}\left(a+b\right)^2+\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}\left(a+b\right)\)
Tương tự:
\(\sqrt{2b^2+bc+2c^2}\ge\dfrac{\sqrt{5}}{2}\left(b+c\right)\) ; \(\sqrt{2c^2+ca+2a^2}\ge\dfrac{\sqrt{5}}{2}\left(c+a\right)\)
Cộng vế với vế:
\(P\ge\sqrt{5}\left(a+b+c\right)\ge\dfrac{\sqrt{5}}{3}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^3=\dfrac{\sqrt{5}}{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{9}\)
AM
12 tháng 6 2016
Từ 2a+2b+2c=3abc chia cả hai vế cho abc>0 ta được
\(2\left(\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{ab}\right)=3=>\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}=\frac{3}{2}\)
\(P=\frac{b}{a^2}+\frac{c}{b^2}+\frac{a}{c^2}-2\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\)
Ta có
14 tháng 3 2021
Áp dụng bđt Schwarz ta có:
\(P=\dfrac{a^4}{2ab+3ac}+\dfrac{b^4}{2cb+3ab}+\dfrac{c^4}{2ac+3bc}\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{5\left(ab+bc+ca\right)}\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{5\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\dfrac{1}{5}\).
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\).
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:
\(P=\frac{1}{2a-a^2}+\frac{1}{2b-b^2}+\frac{1}{2c-c^2}\)
\(\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{2\left(a+b+c\right)-\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)
\(=\frac{9}{2-\left(a^2+b^2+c^2\right)}\ge\frac{9}{2-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}\)
\(=\frac{9}{2-\frac{1}{3}}=\frac{9}{\frac{5}{3}}=\frac{27}{5}\)
Xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
@Thắng Nguyễn
Nếu đề là min của \(\text{ }\frac{1}{2x}-x^2+\frac{1}{2y}-y^2+\frac{1}{2z}-z^2\) thì liệu giải đ.c không nhỉ?