Question

[Thanh Tu Nguyen]

chứng minh rằng : \(38^n+1⋮39\) với mọi n là số lẻ

Answer 1

[Nguyễn Thị Thương Hoài]

Hôm nay olm.vn sẽ hướng dẫn các em giải dạng toán lớp 8 nâng cao chuyên đề chứng minh một tổng chia hết cho một số, cấu trúc đề thi hsg, thi chuyên. Bằng phương pháp gián tiếp quy nạp toán học.

          Bước 1: Thông qua dư liệu đề bài, đưa về một yêu cầu mới tương đương với yêu cầu của đề bài, mà sau đó ta có thể dùng phương pháp quy nạp để chứng minh.

         Bước 2: dùng phương pháp quy nạp để chứng minh

        Bước 3: kết luận

38ⁿ + 1 ⋮ 39 ( ∀ n lẻ);    n lẻ ⇒ n = 2d + 1 ; d \(\in\) N

như vậy cm 38ⁿ + 1 ⋮ 39 \(\forall\) n lẻ nghĩa là cm : 38^{2d + 1}+ 1⋮ 39 ∀ d \(\in\) N

Ta có với d = 1 thì 38^2d+1 + 1 = 38³ + 1 = 54873 ⋮ 39 (đúng)

Giả sử biểu thức đúng với d = k tức là: 38^2k+1 + 1 ⋮ 39

Ta cần chứng minh: biểu thức đúng với d = k + 1 

Tức là chứng minh: 38^2(k+1)+1 + 1 ⋮ 39 

Thật vậy ta có:   38^2(k+1)+1 + 1  = 38^2k+3  + 1  = 38^2k+1. 38² + 1

                 Vì      38^2k+1 + 1 ⋮ 39 

                 ⇒ 38^2k+1 \(\equiv\) -1 (mod 39)   ⁽¹⁾

                   38²       \(\equiv\)  1 (mod 39)       ⁽²⁾

                     1         \(\equiv\)   1 (mod 39 )  ⁽³⁾

  Từ (1); (2); (3) ta có: 38^2k+1.38² + 1 \(\equiv\) (-1).1 + 1  (mod 39)

                                ⇒ 38^2k+1.38² + 1 \(\equiv\) 0 (mod 39 )

                                 ⇒ 38^2k+1.38² + 1 ⋮ 39 

Vậy : 38^2d+1 + 1 ⋮ 39 ∀ d \(\in\) N hay  38ⁿ + 1 ⋮ 39 với \(\forall\) n lẻ (đpcm)

Answer 2

[ミ★Zero ❄ ( Hoàng Nhật )]

Cũng có thể CM bằng cách sử dụng t/c của hằng đẳng thức :

TQ : \(a^n+b^n⋮a+b\) ( a,b là các số nguyên , \(a\ne-b\) , n lẻ )

Ta có : \(38^n+1=38^n+1^n⋮38+1=39\left(đpcm\right)\)