K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

29 tháng 7 2023

Hôm nay olm.vn sẽ hướng dẫn các em giải dạng toán lớp 8 nâng cao chuyên đề chứng minh một tổng chia hết cho một số, cấu trúc đề thi hsg, thi chuyên. Bằng phương pháp gián tiếp quy nạp toán học.

          Bước 1: Thông qua dư liệu đề bài, đưa về một yêu cầu mới tương đương với yêu cầu của đề bài, mà sau đó ta có thể dùng phương pháp quy nạp để chứng minh.

         Bước 2: dùng phương pháp quy nạp để chứng minh

        Bước 3: kết luận

38n + 1 ⋮ 39 ( ∀ n lẻ);    n lẻ ⇒ n = 2d + 1 ; d \(\in\) N

như vậy cm 38n + 1 ⋮ 39 \(\forall\) n lẻ nghĩa là cm : 382d + 1+ 1⋮ 39 ∀ d \(\in\) N

Ta có với d = 1 thì 382d+1 + 1 = 383 + 1 = 54873 ⋮ 39 (đúng)

Giả sử biểu thức đúng với d = k tức là: 382k+1 + 1 ⋮ 39

Ta cần chứng minh: biểu thức đúng với d = k + 1 

Tức là chứng minh: 382(k+1)+1 + 1 ⋮ 39 

Thật vậy ta có:   382(k+1)+1 + 1  = 382k+3  + 1  = 382k+1. 382 + 1

                 Vì      382k+1 + 1 ⋮ 39 

                 ⇒ 382k+1 \(\equiv\) -1 (mod 39)   (1)

                   382       \(\equiv\)  1 (mod 39)       (2)

                     1         \(\equiv\)   1 (mod 39 )  (3)

  Từ (1); (2); (3) ta có: 382k+1.382 + 1 \(\equiv\) (-1).1 + 1  (mod 39)

                                ⇒ 382k+1.382 + 1 \(\equiv\) 0 (mod 39 )

                                 ⇒ 382k+1.382 + 1 ⋮ 39 

Vậy : 382d+1 + 1 ⋮ 39 ∀ d \(\in\) N hay  38n + 1 ⋮ 39 với \(\forall\) n lẻ (đpcm)

Cũng có thể CM bằng cách sử dụng t/c của hằng đẳng thức :

TQ : \(a^n+b^n⋮a+b\) ( a,b là các số nguyên , \(a\ne-b\) , n lẻ )

Ta có : \(38^n+1=38^n+1^n⋮38+1=39\left(đpcm\right)\)

3 tháng 10 2019

n^2(n-3)-(n-3)=(n-3)(n^2-1)=(n-3)(n-1)(n+1)

Có: (n-1)(n+1) là tích 2 số chắn liên tiếp=> (n-1)(n+1) chia hết cho 8

n lẻ=> n-3 chẵn=> n-3 chia hết cho 2

=> (n-3)(n-1)(n+1) chia hết cho 2*8=16(1)

Mặt khác n^3-3n^2-n+3 = n(n^2-1)-3(n^2-1)=n(n-1)(n+1)-3(n^2-1)

thấy n(n-1)(n+1) là tích 3 stn liên tiếp => n(n-1)(n+1) chia hết cho 3

lại có: 3(n^2-1) chia hết cho 3

=> n^3-3n^2-n+3 chia hết cho 3(2)

(1)(2)=>n^3-3n^2-n+3 chia hết cho 48

3 tháng 10 2019

n^3-3n^2-n+3=(n^3-n)-3(n^2-1)=n(n^2-1)-3(n^2-1)=(n-3)(n-1)(n+1)

n lẻ nên có dạng n=2k+1 (k \(\in N\)) thay vào trên ta được

(2k-2)2k(2k+2)=8(k-1)k(k+1) chia hết cho 48 nếu (k-10k(k+10 chia hết cho 6

Thật vậy

(k-1)k(K+1) là 3 số liên tiếp nên luôn tồn tại một số chia hết cho 3

(k-1)k(k+1) cũng luôn tồn tại ít nhất một số chia hết cho 2

vậy (k-1)k(k+1) chia hết cho 6 (chứng minh xong)

NV
18 tháng 9 2021

a. 

Đề bài sai, ví dụ \(n=1\) lẻ nhưng  \(1^2+4.1+8=13\) ko chia hết cho 8

b.

n lẻ \(\Rightarrow n=2k+1\)

\(n^3+3n^2-n-3=n^2\left(n+3\right)-\left(n+3\right)=\left(n^2-1\right)\left(n+3\right)=\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n+3\right)\)

\(=\left(2k+1-1\right)\left(2k+1+1\right)\left(2k+1+3\right)\)

\(=8k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\)

Do \(k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\) là tích 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 6

\(\Rightarrow8k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\) chia hết cho 48

29 tháng 7 2017

Ta có : \(n^2+4n+5=\left(n+2\right)^2+1\)

Giả sử \(\left(n+2\right)^2+1\) \(⋮8\)

Ta có n lẻ => n+2 lẻ => (n+2)2 lẻ

Vì (n+2)2 là số chính phương lẻ nên chia 8 chỉ dư 1

<=> ( n+2)2 chia 8 dư 1

=> (n+2)2 + 1 chia 8 dư 2 => mâu thẫn với giả sử => điều giả sư sai => n2 + 4n + 5 không chia hết cho 8 ( đpcm)

29 tháng 7 2017

Thanks bạn