cho a+b+c=0 cmr 4(a^7 + b^7 + c^7 ) = 7abc(a^2 + b^2 + c^2 ) ^2 .
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AH
Akai Haruma
Giáo viên
1 tháng 6 2020
Lời giải:
a) Thay $a+b=-c$ ta có:
\(a^5+b^5+c^5=(a^2+b^2+c^2)(a^3+b^3+c^3)-a^2b^2(a+b)-b^2c^2(b+c)-c^2a^2(c+a)\)
\(=(a^2+b^2+c^2)[(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3]+a^2b^2c+b^2c^2a+c^2a^2b\)
\(=(a^2+b^2+c^2)(-c^3+3abc+c^3]+abc(ab+bc+ac)\)
\(=abc(3a^2+3b^2+3c^2+ab+bc+ac)\)
\(=abc.\left(\frac{5}{2}(a^2+b^2+c^2)+\frac{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac}{2}\right)\)
\(=abc[\frac{5}{2}(a^2+b^2+c^2)+\frac{(a+b+c)^2}{2}]=\frac{5abc(a^2+b^2+c^2)}{2}\) (đpcm)
b) Áp dụng kết quả $a^3+b^3+c^3=3abc$ đã làm ở phần a và điều kiện đề bài $a+b+c=0$ ta có:
\(a^7+b^7+c^7=(a^4+b^4+c^4)(a^3+b^3+c^3)-a^3b^3(a+b)-b^3c^3(b+c)-c^3a^3(c+a)\)
\(=3abc(a^4+b^4+c^4)+a^3b^3c+b^3c^3a+c^3a^3b\)
\(=abc(3a^4+3b^4+3c^4+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)(1)\)
Mà:
\(a^4+b^4+c^4=(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)\)
\(=[(a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)]^2-2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)\)
\(=4(ab+bc+ac)^2-2a^2b^2-2b^2c^2-2c^2a^2=2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)+8abc(a+b+c)\)
\(=2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)\)
\(\Rightarrow \frac{a^4+b^4+c^4}{2}=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2(2)\)
Từ $(1);(2)\Rightarrow a^7+b^7+c^7=abc(3a^4+3b^4+3c^4+\frac{a^4+b^4+c^4}{2})=\frac{7abc(a^4+b^4+c^4)}{2}$ (đpcm)
NT
6 tháng 10 2018
Câu 2;3;4 dễ quá... bỏ qua!!
Câu 5;6 khó quá ... khỏi làm!!
dễ quá bỏ qua!!, khó quá khỏi làm!!
cứ tiêu chí mày bạn sẽ vượt qua mọi bài toán... và nhanh chóng đạt 1đ.
28 tháng 4 2019
Hmm , bài này trông quen quen , trong cuốn "các bài giảng về bđt Cô-si" của Phạm Văn Hùng ; Nguyễn Vũ Lương , Nguyễn Ngọc Thắng thì phải . Mình đọc rồi mà quên mất tiêu =( Để nghĩ lại coi nha
28 tháng 4 2019
Bạn ơi , mình không có quyển đó, bạn cố nhớ lại giúp mình với , huhu , thứ 6 là mình phải nộp rồi
NP
2
HN
20 tháng 11 2018
Ta có: \(a^2+3=\left(a+b\right)\left(a+c\right)\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(VT=\dfrac{a}{a^2+7}+\dfrac{b}{b^2+7}+\dfrac{c}{c^2+7}\le\sum\dfrac{a}{4\sqrt{a^2+3}}=\sum\dfrac{a}{4\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\)
\(\le\sum\dfrac{a}{4}.\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a+c}\right)=\sum\dfrac{1}{8}\left(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{a+b}\right)=\dfrac{3}{8}\)
Dấu = xảy ra khi a=b=c=1
P/s:\(\sum\limits_{x,y,z}x=x+y+z\) :Tổng hoán vị