Giả sử dạy số thực có thứ tự \(x_1\le x_2\le.....\le x_{192}\) thỏa mãn các điều kiện
\(x_1+x_2+....+x_{192}=0\)và \(\left|x_1\right|+\left|x_2\right|+...+\left|x_{192}\right|=2013\)
CMR: \(x_{192}-x_1\ge\frac{2013}{96}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
3 tháng 5 2019
1) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM :
\(P=\frac{a^2+b^2}{ab}+\frac{ab}{a^2+b^2}\ge2\sqrt{\frac{a^2+b^2}{ab}\cdot\frac{ab}{a^2+b^2}}=2\sqrt{1}=2\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a^2+b^2-ab=0\)
T
3 tháng 5 2019
1) Anh phương làm lạ zậy?
Đặt \(x=\frac{a^2+b^2}{ab}\ge\frac{2ab}{ab}=2\) (do a.b > 0 nên ta không cần viết 2|ab| thay cho 2ab)
Khi đó bài toán trở thành: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=x+\frac{1}{x}\) (với \(x\ge2\))
Ta có: \(P=\left(\frac{1}{x}+\frac{x}{4}\right)+\frac{3x}{4}\ge2\sqrt{\frac{1}{x}.\frac{x}{4}}+\frac{3x}{4}\ge1+\frac{3.2}{4}=\frac{5}{2}\)
Vậy P min là 5/2 khi x = 2
14 tháng 7 2023
\(\sqrt{x_1^2-1^2}+2\sqrt{x^2_2-2^2}+...+100\sqrt{x_{100}^2-100^2}=\dfrac{1}{2}\left(x_1^2+x^2_2+...+x_{100}^2\right)\)
\(\Leftrightarrow2\sqrt{x_1^2-1^2}+4\sqrt{x^2_2-2^2}+...+200\sqrt{x_{100}^2-100^2}=x_1^2+x^2_2+...+x_{100}^2\)
\(\Leftrightarrow x_1^2-1-2\sqrt{x_1^2-1}+1+x^2_2-4-4\sqrt{x^2_2-4}+4+...+x^2_{100}-10000-200\sqrt{x_{100}^2-10000}+10000=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x^2_1-1}-1\right)^2+\left(\sqrt{x^2_2-4}-2\right)^2+....+\left(\sqrt{x^2_{100}-10000}-100\right)^2=0\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x^2_1-1}-1=0\\\sqrt{x^2_2-4}-2=0\\....\\\sqrt{x^2_{100}-10000}-100=0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=\sqrt{1^2+1}=\sqrt{2}\\x_2=\sqrt{2^2+4}=2\sqrt{2}\\....\\x_{100}=\sqrt{100^2+10000}=100\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
30 tháng 1 2019
Ta có: \(k\sqrt{x_k-k^2}\le\dfrac{1}{2}\left(k^2+x_k-k^2\right)=\dfrac{1}{2}x_k\)
\(\Rightarrow\sum\limits^{2005}_{k=1}k.\sqrt{x_k-k^2}\le\dfrac{1}{2}\left(x_1+x_2+...+x_{2005}\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi:
\(k=\sqrt{x_k-k^2}\Leftrightarrow x_k=2k^2\) hay \(\left\{{}\begin{matrix}x_1=2.1^2=1\\x_2=2.2^2=8\\....\\x_{2005}=2.2005^2\end{matrix}\right.\)
10 tháng 12 2017
Áp dụng dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\frac{x_1}{x_2}=\frac{x_2}{x_3}=...=\frac{x_{2016}}{x_{2016} }=\frac{x_1+x_2+...+x_{2017}}{x_2+x_3+...+x_{2017}} \)( 2016 số)
\(=>\frac{x_1^{2016}}{x_2^{2016}}=\frac{x_2^{2016}}{ x_3^{2016}}=...=\frac{x_{2016}^{2016}}{x_{2017}^{2016}} =\frac{(x_1+x_2+...+x_{2016})^{2016}}{ (x_2+x_3+...+x_{2017})^{2016}}\)
Mà \(\frac{x_1^{2016}}{x_2^{2016}}=\frac{x_1}{x_2}. \frac{x_2}{x_3}.\frac{x_3}{x_4}...\frac{x_{2016}}{x_{2017}} =\frac{x_1}{x_{2017}}\)
=>đpcm
DP
20 tháng 4 2019
\(max\left\{x_1;x_2;...;x_n\right\}\ge\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}+\frac{\left|x_1-x_2\right|+\left|x_2-x_3\right|+...+\left|x_{n-1}-x_n\right|+\left|x_n-x_1\right|}{2n}\)
C
18 tháng 11 2019
Đề Tuyển sinh lớp 10 chuyên toán ĐHSP Hà Nội 2012-2013
NGUỒN:CHÉP MẠNG,CHÉP Y CHANG CHỨ E KO HIỂU GÌ ĐÂU(vài dòng đầu)-lỡ như anh cần mak ko có key. ( VÔ TÌNH TRA TÀI LIỆU THÌ THẦY BÀI NÀY )
P/S:Xin đừng bốc phốt.
Để ý trong 2 số thực x,y bất kỳ luôn có
\(Min\left\{x;y\right\}\le x,y\le Max\left\{x,y\right\}\) và \(Max\left\{x;y\right\}=\frac{x+y+\left|x-y\right|}{2}\)
Ta có:
\(\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}+\frac{\left|x_1-x_2\right|+\left|x_2-x_3\right|+.....+\left|x_n-x_1\right|}{2n}\)
\(=\frac{x_1+x_2+\left|x_1-x_2\right|}{2n}+\frac{x_2+x_3+\left|x_2-x_3\right|}{2n}+.....+\frac{x_3+x_4+\left|x_3-x_4\right|}{2n}+\frac{x_4+x_5+\left|x_4-x_5\right|}{2n}\)
\(\le\frac{Max\left\{x_1;x_2\right\}+Max\left\{x_2;x_3\right\}+.....+Max\left\{x_n;x_1\right\}}{n}\)
\(\le Max\left\{x_1;x_2;x_3;.....;x_n\right\}^{đpcm}\)
1 tháng 9 2019
x1+x2+x3+...+x2008=2008
\(\Leftrightarrow\)(x1-1)+(x2-1)+(x3-1)+...+(x2008-1)=0 (1)
x31+x32+x33+...+x32008=x41+x42+x43+...+x42008
Lấy vế phải trừ vế trái ta được :
x31(x1-1)+x32(x2-1)+x33(x3-1)+...+x32008(x2008-1)=0 (2)
Lấy (1) (2) rồi đặt nhân tử chung là ra cái này
(x31-1)(x1-1)+(x32-1)(x2-1)+(x33-1)(x3-1)+...+(x32008-1)(x2008-1)=0
Ta thấy (x31-1)(x1-1) = (x1-1)(x21+x1+1)(x1-1) = (x1-1)2(x21+x1+1)\(\ge\)0 Với mọi x
CMTT : (x23-1)(x2-1) \(\ge\)0 Với mọi x
.............................................
(x20083-1)(x2008-1) \(\ge\)0 Với mọi x
\(\Rightarrow\)(x31-1)(x1-1)+(x32-1)(x2-1)+(x33-1)(x3-1)+...+(x32008-1)(x2008-1)\(\ge\)0
Mà(x31-1)(x1-1)+(x32-1)(x2-1)+(x33-1)(x3-1)+...+(x32008-1)(x2008-1)=0
Đến đây bạn tự suy ra x1=1; x2=1;...;x2008=1 nhé!
Mình hơi bận nên không giải tiếp được bán nhé!
Mong bạn thông cảm
N
11 tháng 1 2019
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2+...+x_{2000}=a\left(1\right)\\x_1^2+x_2^2+...+x_{2000}^2=a^2\left(2\right)\\x_1^{2000}+x_2^{2000}+...+x_{2000}^{2000}=a^{2000}\left(3\right)\end{matrix}\right.\)
Từ (2)(3)\(\Rightarrow2\left(x_1x_2+x_2x_3+...+x_{2000}x_1\right)=0\)
\(\Rightarrow x_1=x_2=...=x_{2000}=0\)
Vậy hpt có nghiệm là x=0.
Đúng không ạ?
Ta chứng minh bài toán \(a_1\le a_2\le...\le a_n\) thỏa mãn \(a_1+a_2+...+a_n=0;\left|a_1\right|+\left|a_2\right|+...+\left|a_n\right|=1\) thì \(a_n-a_1=\frac{2}{n}\)
Từ điều kiện trên ta có \(k\in N\) sao cho \(a_1\le a_2\le...a_k\le0\le a_{k+1}\le...\le a_n\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left(a_1+a_2+...+a_k\right)+\left(a_{k+1}+...+a_n\right)=0\\-\left(a_1+a_2+...+a_k\right)+\left(a_{k+1}+...+a_n\right)=\frac{1}{2}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a_1+a_2+...+a_k=-\frac{1}{2}\\a_{k+1}+...+a_n=\frac{1}{2}\end{cases}}\). Mà
\(a_1\le a_2\le...\le a_k\Rightarrow a_1\le-\frac{1}{2k};a_{k+1}\le...\le a_n\Rightarrow a_n\ge\frac{1}{2k}\)
\(\Rightarrow a_n-a_1\ge\frac{1}{2k}+\frac{1}{2\left(n-k\right)}=\frac{n}{2k\left(n-k\right)}\ge\frac{n}{2\left(\frac{k+n-k}{2}\right)^2}=\frac{2}{n}\)
Áp dụng vào bài chính theo giải thiết ta có:
\(\hept{\begin{cases}\frac{x_1}{2013}+\frac{x_2}{2013}+...+\frac{x_{192}}{2013}=0\\\left|\frac{x_1}{2013}\right|+\left|\frac{x_2}{2013}\right|+...+\left|\frac{x_{192}}{2013}\right|=0\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\frac{x_{192}}{2013}-\frac{x_1}{2013}\ge\frac{2}{192}\Rightarrow x_{192}-x_1\ge\frac{2013}{96}\)