cho a,b,c thuoc N*
chung minh:\(\frac{a}{a+b}\)+\(\frac{b}{b+c}\)+\(\frac{c}{c+a}\)>1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
VM
29 tháng 7 2019
Đề sửa lại là: Chứng minh \(\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}+\frac{a+b}{c}\) nhé.
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:
\(\frac{a}{b+c}=\frac{b}{a+c}=\frac{c}{a+b}=\frac{a+b+c}{\left(b+c\right)+\left(a+c\right)+\left(a+b\right)}=\frac{a+b+c}{2.\left(a+b+c\right)}.\)
Xét 2 trường hợp:
TH1: \(a+b+c=0\) thì \(\left\{{}\begin{matrix}b+c=-a\\a+c=-b\\a+b=-c\end{matrix}\right.\)
Có: \(\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}+\frac{a+b}{c}=\frac{-a}{a}+\frac{-b}{b}+\frac{-c}{c}=\left(-1\right)+\left(-1\right)+\left(-1\right)=-3\), không phụ thuộc vào các giá trị \(a;b;c\) (1)
TH2: \(a+b+c\ne0\) thì \(\frac{a}{b+c}=\frac{b}{a+c}=\frac{c}{a+b}=\frac{a+b+c}{2.\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{2}.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2a=b+c\\2b=a+c\\2c=a+b\end{matrix}\right.\)
Có: \(\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}+\frac{a+b}{c}=\frac{2a}{a}+\frac{2b}{b}+\frac{2c}{c}=2+2+2=6\), không phụ thuộc vào các giá trị \(a;b;c\) (2)
Từ (1) và (2) => \(\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}+\frac{a+b}{c}\) không phụ thuộc vào các giá trị của \(a;b;c.\)
Chúc bạn học tốt!
2 tháng 7 2018
2. Áp dụng bất đẳng thức Cô - si cho 3 số dương \(\frac{a}{b},\frac{b}{c},\frac{c}{a}\)ta có
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge3\sqrt[3]{\frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{a}}\)\(=3\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c
14 tháng 9 2020
Sửa VP = \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác
=> a, b, c > 0
Áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)( cái này bạn tự chứng minh nhé ) ta có :
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{a+c-b}\ge\frac{4}{a+b-c+a+c-b}=\frac{4}{2a}=\frac{2}{a}\)
TT : \(\frac{1}{a+c-b}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{4}{a+c-b+b+c-a}=\frac{4}{2c}=\frac{2}{c}\)
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{4}{a+b-c+b+c-a}=\frac{4}{2b}=\frac{2}{b}\)
Cộng theo vế ta có :
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{a+c-b}+\frac{1}{a+c-b}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}\)
\(\Leftrightarrow2\left(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{a+c-b}+\frac{1}{b+c-a}\right)\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{a+c-b}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)( đpcm )
Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c
S
14 tháng 11 2018
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{a+b+c}-\frac{1}{c}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}=\frac{-\left(a+b\right)}{c\left(a+b+c\right)}\Leftrightarrow c\left(a+b+c\right)\left(a+b\right)=-ab\left(a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(ac+bc+c^2\right)\left(a+b\right)+ab\left(a+b\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(ac+bc+c^2+ab\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0\)
=> a=-b hoặc b=-c hoặc c=-a
không mất tính tổng quát ,giả sử a=-b, ta có:
\(\frac{1}{a^{2019}}+\frac{1}{b^{2019}}+\frac{1}{c^{2019}}=\frac{1}{-b^{2019}}+\frac{1}{b^{2019}}+\frac{1}{c^{2019}}=\frac{1}{c^{2019}}\left(1\right)\)
\(\frac{1}{a^{2019}+b^{2019}+c^{2019}}=\frac{1}{-b^{2019}+b^{2019}+c^{2019}}=\frac{1}{c^{2019}}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) => đpcm
Tương tự với 2 trường hợp còn lại ta cũng có đpcm
HT
1
19 tháng 4 2016
Hình như là sai đề! Nếu mà chứng minh biểu thức trên ko phải là số tự nhiên thì mk chứng minh đc. Còn cái này thì...........?
20 tháng 3 2016
cmtt \(\frac{b^2}{a+c}+\frac{a+c}{4}\ge b\)
\(\frac{c^2}{a+b}+\frac{a+b}{4}\ge c\)
\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}+\frac{a+b+b+c+c+a}{4}\ge a+b+c\)
\(A+\frac{1}{2}\ge1\)
20 tháng 3 2016
\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{4}}=a\)
cmtt
A+1/2\(\ge1\Rightarrow A\ge\frac{1}{2}\)
A là biểu thức bên trái nha
NN
Cho a,b,c la cac so duong a+b+c=3
Chung minh:\(a^5+b^5+c^5+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge6\)
1
25 tháng 5 2019
Áp dụng bđt AM-GM:
\(a^5+\frac{1}{a}\ge2\sqrt{a^5.\frac{1}{a}}=2a^2\)
\(b^5+\frac{1}{b}\ge2\sqrt{b^5.\frac{1}{b}}=2b^2\)
\(c^5+\frac{1}{c}\ge2\sqrt{c^5.\frac{1}{c}}=2c^2\)
\(\Rightarrow VT\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\frac{2}{3}\left(a+b+c\right)^2=6\)
\("="\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Ta có: \(\hept{\begin{cases}\frac{a}{a+b}>\frac{a}{a+b+c}\\\frac{b}{b+c}>\frac{b}{a+b+c}\\\frac{c}{c+a}>\frac{c}{a+b+c}\end{cases}}\Rightarrow\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}=1\)
\(\Rightarrow\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}>1\left(đpcm\right)\)
cam on to biet rui