Cho tam giác ABC có độ dài 3 cạnh là a, b, c. CMR: Nếu 2 đường phân giác AD và BE cắt nhau tại O thỏa mãn\(\frac{OA}{OD}=\sqrt{3},\frac{OB}{OE}=\frac{1}{\sqrt{3}-1}\)thì tam giác ABC vuông
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
12 tháng 3 2017
a.) từ các tia phân giác suy ra được OE/OB=AE/AB=EC/BC
suy ra AE/c=EC/a
áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :
AE/c=EC/a=AE+EC/c+a=AC/c+a=b/c+a
suy ra AE=bc/c+a
tương tự ta có AF=bc/a+b
ta có OB/OE=AB/AE=c/AE
suy ra OB/OE+OB=c/AE+c (ko bik bạn học cái này chưa)
OB/BE=c/AE+c(1)
tương tự ta lại có OC/CF=b/AF+b(2)
từ (1) và (2) suy ra OB.OC/BE.CF=bc/(AE+c)(AF+b)=1/2
nhân chéo ta có 2bc=(AE+c)(AF+b)=(bc/(c+a)+c)(bc/(a+b)+b)
2bc=(c(a+b+c)/(a+c))(b(a+b+c)/(a+b))
2bc=bc(a+b+c)^2/(a+c)(a+b)
2=(a+b+c)^2/(a+c)(a+b)
suy ra (a+b+c)^2=2(a+c)(a+b)
tách ra rút gọn còn a^2=b^2+c^2
suy ra tam giác ABC vuông tại A
T
10 tháng 4 2017
bài 2 bạn tự vẽ hình nha
xét tam giác vuông ABC và tam giác vuông DBA co chung goc BAC
==> tam giác ABC đồng dạng với tam giác DBA
==> AB/BC=BD/AB (1)
xét tam giác DBA có BF là phân giác ==> BD/AB=DF/AF(2)
xét tam giác vuông BAC có BE là phân giác ==> AB/BC=AE/EC (3)
từ (1) (2) (3) ta có DF/FA =AE/EC (vì cùng bằng AB/BC )
HN
13 tháng 6 2016
đặt AB=c, AC=b, BC=a
ta có:
\(\frac{EC}{AE}=\frac{BC}{AB}\)(vì BE là phân giác goc B của tam giác ABC)
\(\Leftrightarrow\frac{EC}{AC-EC}=\frac{BC}{AB}hay\frac{EC}{b-EC}=\frac{a}{c}\Rightarrow EC.c=ab-a.EC\)
\(\Leftrightarrow EC.c+a.EC=ab\Leftrightarrow EC\left(a+c\right)=ab\Rightarrow EC=\frac{ab}{a+c}\)
\(\frac{BF}{ÀF}=\frac{BC}{AC}\) (vì CF là phân giác góc C của tam giác ABC)
\(\Leftrightarrow\frac{BF}{AB-BF}=\frac{BC}{AC}hay\frac{BF}{c-BF}=\frac{a}{b}\Rightarrow b.BF=ac-a.BF\Leftrightarrow b.BF+a.BF=ac\Leftrightarrow BF\left(a+b\right)=ac\Rightarrow BF=\frac{ac}{a+b}\)
lại có:
\(\frac{OB}{OE}=\frac{BC}{EC}\) (vì CO là phân giác góc C của tam giác CEB)
\(\Rightarrow\frac{OB}{OB+OE}=\frac{BC}{BC+EC}hay\frac{OB}{BE}=\frac{a}{a+\frac{ab}{a+c}}=\frac{a}{\frac{a\left(a+c\right)+ab}{a+c}}=\frac{a\left(a+c\right)}{a\left(a+b+c\right)}=\frac{a+c}{a+b+c}\left(1\right)\)
\(\frac{OC}{OF}=\frac{BC}{BF}\)(BO là phân giác góc B của tam giác BFC)
\(\Rightarrow\frac{OC}{OF+OC}=\frac{BC}{BC+BF}\Leftrightarrow\frac{OC}{CF}=\frac{BC}{BC+CF}hay\frac{OC}{CF}\frac{a}{a+\frac{ac}{a+b}}=\frac{a}{\frac{a\left(a+b\right)+ac}{a+b}}=\frac{a\left(a+b\right)}{a\left(a+b+c\right)}\)\(=\frac{a+b}{a+b+c}\left(2\right)\)
nhân (1) và (2) vế theo vế ta được: \(\frac{OB}{BE}.\frac{OC}{CF}=\frac{a+c}{a+b+c}.\frac{a+b}{a+b+c}=\frac{\left(a+c\right)\left(a+b\right)}{\left(a+b+c\right)^2}\)
theo đề bài thì \(\frac{OB}{BE}.\frac{OC}{CF}=\frac{1}{2}\)
nên: \(\frac{\left(a+c\right)\left(a+b\right)}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{1}{2}\)
=> 2(a+c)(a+b)=(a+b+c)2
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+ac+bc+ab\right)=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2ac+2bc+2ab=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\)
\(\Leftrightarrow a^2=b^2+c^2\) hay BC2=AB2+AC2 => tam giác ABC vuông tại A( theo định lí pytago đảo)
16 tháng 9 2016
Đặt \(S_{BOC}=x^2,S_{AOC}=y^2,S_{AOB}=z^2\) \(\Rightarrow S_{ABC}=S_{BOC}+S_{AOC}+S_{AOB}=x^2+y^2+z^2\)
Ta có : \(\frac{AD}{OD}=\frac{S_{ABC}}{S_{BOC}}=\frac{AO+OD}{OD}=1+\frac{AO}{OD}=\frac{x^2+y^2+z^2}{x^2}=1+\frac{y^2+z^2}{x^2}\)
\(\Rightarrow\frac{AO}{OD}=\frac{y^2+z^2}{x^2}\Rightarrow\sqrt{\frac{AO}{OD}}=\sqrt{\frac{y^2+z^2}{x^2}}=\frac{\sqrt{y^2+z^2}}{x}\)
Tương tự ta có \(\sqrt{\frac{OB}{OE}}=\sqrt{\frac{x^2+z^2}{y^2}}=\frac{\sqrt{x^2+z^2}}{y};\sqrt{\frac{OC}{OF}}=\sqrt{\frac{x^2+y^2}{z^2}}=\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}\)
\(\Rightarrow P=\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}+\frac{\sqrt{y^2+z^2}}{x}+\frac{\sqrt{x^2+z^2}}{y}\ge\frac{x+y}{\sqrt{2}z}+\frac{y+z}{\sqrt{2}x}+\frac{x+z}{\sqrt{2}y}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)\right]\ge\frac{1}{\sqrt{2}}\left(2+2+2\right)=3\sqrt{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\Rightarrow S_{BOC}=S_{AOC}=S_{AOB}=\frac{1}{3}S_{ABC}\)
\(\Rightarrow\frac{OD}{OA}=\frac{OE}{OB}=\frac{OF}{OC}=\frac{1}{3}\Rightarrow\)O là trọng tâm của tam giác ABC
Vậy \(MinP=3\sqrt{2}\) khi O là trọng tâm của tam giác ABC
23 tháng 6 2017
a, \(vì\)AD là phân giác suy ra góc BAD =góc DAC =45 ĐỘ
cos45 độ = AD/AB =4 /AB =1/ căn 2 suy ra AB =4 NHÂN CĂN 2
TH TỰ dùng sin 45 độ =dc/ac =5/ad =1/căn 2 suy ra AC =5 CĂN 2 ÁP DỤNG PITA GO TÌM RA CẠNH bc
b,
