Gọi M là giá trị lớn nhất của biểu thức $S=\sin x \sin y \sin\left(3x y\right)-2\sin\left(2x y\right).\cos x$ , $\forall x\in\left(0,2\pi\right),\forall y\in\left(0,2\pi\right)$ . Biết \(M=\dfrac{...

1

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

1 tháng 5 2021

$S=sinx+siny+sin\left(3x+y\right)-sin\left(3x+y\right)-sin\left(x+y\right)$

$=sinx+siny-sin\left(x+y\right)$

$S^2=\left(sinx+siny-sin\left(x+y\right)\right)^2\le3\left(sin^2x+sin^2y+sin^2\left(x+y\right)\right)$

$S^2\le3\left(1-\dfrac{1}{2}\left(cos2x+cos2y\right)+sin^2\left(x+y\right)\right)$

$S^2\le3\left[1-cos\left(x+y\right)cos\left(x-y\right)+1-cos^2\left(x-y\right)\right]$

$S^2\le3\left[2+\dfrac{1}{4}cos^2\left(x+y\right)-\left[cos\left(x-y\right)-\dfrac{1}{2}cos\left(x+y\right)\right]^2\right]\le3\left[2+\dfrac{1}{4}cos^2\left(x+y\right)\right]$

$S^2\le3\left(2+\dfrac{1}{4}\right)=\dfrac{27}{4}$

$\Rightarrow S\le\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=3\\b=3\\c=2\end{matrix}\right.$

Đúng(1)

V

vvvvvvvv

26 tháng 9 2021

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

a) $y=f\left(x\right)=\dfrac{4}{\sqrt{5-2\cos^2x\sin^2x}}$

b)$y=f\left(x\right)=3\sin^2x+5\cos^2x-4\cos2x-2$

c)$y=f\left(x\right)=\sin^6x+\cos^6x+2\forall x\in\left[\dfrac{-\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right]$

0

V

vvvvvvvv

30 tháng 9 2021

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

a) y=f(x)=$\dfrac{4}{\sqrt{5-2cos^2xsin^2x}}$

b)y=f(x)=$3sin^2x+5cos^2x-4cos2x-2$

c)y=f(x)=$sin^6x+cos^6x+2\forall x\in\left[\dfrac{-\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right]$

Chứng minh rằng $f'\left(x\right)=0;\forall x\in R$ nếu...

0

SG

Sách Giáo Khoa

11 tháng 4 2017

Đọc tiếp

1

TL

Trịnh Long

1 tháng 12 2019

Chứng minh các biểu thức đã cho không phụ thuộc vào x.

Từ đó suy ra f'(x)=0

a) $f(x)=1\Rightarrowf'(x)=0f(x)=1\Rightarrowf'(x)=0$ ;

b) $f(x)=1\Rightarrowf'(x)=0f(x)=1\Rightarrowf'(x)=0$ ;

c) $f(x)=$\frac{1}{4}$$ ($\sqrt{2}$-$\sqrt{6}$)=>f'(x)=0

d,f(x)=$\frac{3}{2}$=>f'(x)=0

HT

ha:rt the hanoi

12 tháng 9 2021

Tìm giá trị max, min của các hàm số sau:

1, y= 2 - $\sin\left(\dfrac{3\pi}{2}+x\right)\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)$

2, y= $\sqrt{5-2\sin^2x.\cos^2x}$

1

NT

Ngô Thành Chung

12 tháng 9 2021

1, $y=2-sin\left(\dfrac{3x}{2}+x\right).cos\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)$

$y=2-\left(-cosx\right).\left(-sinx\right)$

y = 2 - sinx.cosx

y = $2-\dfrac{1}{2}sin2x$

Max = 2 + $\dfrac{1}{2}$ = 2,5

Min = $2-\dfrac{1}{2}$ = 1,5

2, y = $\sqrt{5-\dfrac{1}{2}sin^22x}$

Min = $\sqrt{5-\dfrac{1}{2}}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$

Max = $\sqrt{5}$

Đúng(2)

TC

Trần Công Thanh Tài

14 tháng 3 2022

Tính giá trị của biểu thức sau : B= $\dfrac{tan\left(\dfrac{21\pi}{2}-x\right).cos\left(38\pi-x\right).sin\left(x-7\pi\right)}{sin\left(\dfrac{13\pi}{2}-x\right).cos\left(x-2023\pi\right)}$

0

TC

Trần Công Thanh Tài

21 tháng 3 2022

Tính giá trị của biểu thức sau: B= $\dfrac{tan\left(\dfrac{23\pi}{2}+x\right).sin\left(2022\pi-x\right).cos\left(x-2021\pi\right)}{cos\left(\dfrac{2021\pi}{2}-x\right).sin\left(x+2023\pi\right)}$

1

NL

Nguyễn Lê Phước Thịnh

30 tháng 7 2023

$=\dfrac{tan\left(\dfrac{pi}{2}+x\right)\cdot sin\left(-x\right)\cdot cos\left(x-pi\right)}{cos\left(\dfrac{pi}{2}-x\right)\cdot sin\left(x+pi\right)}$

$=\dfrac{-cotx\cdot sin\left(-x\right)\cdot\left(-cosx\right)}{sinx\cdot-sinx}$

$=\dfrac{cotx\cdot sinx\left(-1\right)\cdot cosx}{-sinx\cdot sinx}=\dfrac{\dfrac{cosx}{sinx}\cdot cosx}{sinx}=\dfrac{cos^2x}{sin^2x}=cot^2x$

SG

Sách Giáo Khoa

4 tháng 4 2017

Chứng minh rằng các hàm số sau có đạo hàm không phụ thuộc vào x :

a) $y=\sin^6x+\cos^6x+3\sin^2x.\cos^2x$

b) $y=\cos^2\left(\dfrac{\pi}{3}-x\right)+\cos^2\left(\dfrac{\pi}{3}+x\right)+\cos^2\left(\dfrac{2\pi}{3x}-x\right)+\cos^2\left(\dfrac{2\pi}{3x}+x\right)-2\sin^2x$

1

HA

Hà An

4 tháng 4 2017

a) Cách 1: Ta có:

y' = 6sin⁵x.cosx - 6cos⁵x.sinx + 6sinx.cos³x - 6sin³x.cosx = 6sin³x.cosx(sin²x - 1) + 6sinx.cos³x(1 - cos²x) = - 6sin³x.cos³x + 6sin³x.cos³x = 0.

Vậy y' = 0 với mọi x, tức là y' không phụ thuộc vào x.

Cách 2:

y = sin⁶x + cos⁶x + 3sin²x.cos²x(sin²x + cos²x) = sin⁶x + 3sin⁴x.cos²x + 3sin²x.cos⁴x + cos⁶x = (sin²x + cos²x)³ = 1

Do đó, y' = 0.

b) Cách 1:

Áp dụng công thức tính đạo hàm của hàm số hợp

(cos²u)' = 2cosu(-sinu).u' = -u'.sin2u

Ta được

y' =[sin $\left ( \frac{2\pi }{3}-2x \right )$ - sin $\left ( \frac{2\pi }{3}+2x \right )$ ] + [sin $\left ( \frac{4\pi }{3}-2x \right )$ - sin $\left ( \frac{4\pi }{3}+2x \right )$ ] - 2sin2x = 2cos $\frac{2\pi }{3}$ .sin(-2x) + 2cos $\frac{4\pi }{3}$ .sin(-2x) - 2sin2x = sin2x + sin2x - 2sin2x = 0,

vì cos $\frac{2\pi }{3}$ = cos $\frac{4\pi }{3}$ = $-\frac{1}{2}$ .

Vậy y' = 0 với mọi x, do đó y' không phụ thuộc vào x.

Cách 2: vì côsin của hai cung bù nhau thì đối nhau cho nên

cos² $\left ( \frac{\pi }{3}-x \right )$ = cos² $\left ( \frac{2\pi }{3}-x \right )$ '

cos² $\left ( \frac{\pi }{3}+x \right )$ = cos² $\left ( \frac{2\pi }{3}+x \right )$ .

Do đó

y = 2 cos² $\left ( \frac{\pi }{3}-x \right )$ + 2cos² $\left ( \frac{\pi }{3}+x \right )$ - 2sin²x = 1 +cos $\left ( \frac{2\pi }{3}-2x \right )$ + 1 +cos $\left ( \frac{2\pi }{3}+2x \right )$ - (1 - cos2x) = 1 +cos $\left ( \frac{2\pi }{3}-2x \right )$ + cos $\left ( \frac{2\pi }{3}+2x \right )$ + cos2x = 1 + 2cos $\frac{2\pi }{3}$ .cos(-2x) + cos2x = 1 + 2 $\left ( \frac{-1}{2} \right )$ cos2x + cos2x = 1.

Do đó y' = 0.

DT

Đặng tuấn anh

19 tháng 6 2018

Hãy chứng min rằng :
1) $\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}\ge\sqrt{\left(a+c\right)^2+\left(b+d\right)^2},\forall a,b,c,d\in R$

2) $\sqrt{4\cos^2x.\cos^2y+\sin^2\left(x-y\right)}+\sqrt{4\sin^2x.\sin^2y+\sin^2\left(x-y\right)}\ge2,\forall x,y\in R$

2

TN

Thảo Nguyễn Karry

19 tháng 6 2018

1) Bất đẳng thức cần chứng minh

$\Leftrightarrow$ a² + b² + c² + d² + $2\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)}\ge\left(a+c\right)^2+\left(b+d\right)^2$

$\Leftrightarrow$ $ac+bd\le\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)}\left(1\right)$

Nếu : ac + bd < 0 : BĐT luôn đúng

Nếu : ac + bd $\ge$ 0 : Thì (1) tương đương

( ac + bd )² $\le$ ( a²+ b² )( c² + d² )

$\Leftrightarrow$ $\left(ac\right)^2+\left(bd\right)^2+2abcd\le\left(ac\right)^2+\left(ad\right)^2+\left(bc\right)^2+\left(bd\right)^2$

$\Leftrightarrow$ $\left(ad\right)^2+\left(bc\right)^2-2abcd\ge0$

$\Leftrightarrow$ $\left(ad-bc\right)^2\ge0$ , luôn đúng , vậy bài toán được chứng minh

TN

Thảo Nguyễn Karry

19 tháng 6 2018

2) Chọn :$\left\{{}\begin{matrix}a=2\cos x.\cos y\\c=2\sin x.\sin y\\b=d=\sin\left(x-y\right)\end{matrix}\right.$

Từ câu 1) ta có :

$\sqrt{4\cos^2x.\cos^2y+\sin^2\left(x-y\right)}+\sqrt{4\sin^2x.\sin^2y+\sin^2\left(x-y\right)}$

$\ge\sqrt{\left(2\cos x.\cos y+2\sin x.\sin y\right)^2+\left(2\sin\left(x-y\right)\right)^2}$

$\ge\sqrt{4\cos^2\left(x-y\right)+4\sin^2\left(x-y\right)}=2$

TY

Thiên Yết

5 tháng 7 2021

Rút gọn cac biểu thức...

Đọc tiếp