cho x,y,z>0, x*y*z=1. cm (x+1)(y+1)(z+1)>=8
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
DN
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
29 tháng 12 2016
Lời giải:
Để ý rằng \((x+y)(y+z)(z+x)=(x+y+z)(xy+yz+xz)-xyz\)
Áp dụng BĐT AM-GM thì \((x+y+z)(xy+yz+xz)\geq 9xyz\)
\(\Rightarrow (x+y)(y+z)(x+z)\geq \frac{8}{9}(xy+yz+xz)(x+y+z)\)
Mặt khác, dùng AM-GM dễ thấy rằng \(xy+yz+xz\geq\sqrt[3]{(xyz)^2}=3\)
Do đó \(\Rightarrow (x+y)(y+z)(x+z)\geq \frac{8}{3}(xy+yz+xz)(x+y+z)\)
Dấu $=$ xảy ra khi $x=y=z=1$
10 tháng 3 2021
Ta có : \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\ge\dfrac{9}{x+y+z}\)
Đặt \(Q=x+y+z+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\ge x+y+z+\dfrac{9}{x+y+z}\)
\(=x+y+z+\dfrac{1}{x+y+z}+\dfrac{8}{x+y+z}\)
Áp dụng BĐT Cô - si có :
\(\left(x+y+z\right)+\dfrac{1}{x+y+z}\ge2\sqrt{\left(x+y+z\right)\cdot\dfrac{1}{x+y+z}}=2\)
Do \(x+y+z\le1\Rightarrow\dfrac{8}{x+y+z}\ge8\)
Do đó : \(Q\ge8+2=10\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
10 tháng 3 2021
\(x+y+z+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\ge x+y+z+\dfrac{9}{x+y+z}\)
\(VT\ge x+y+z+\dfrac{1}{x+y+z}+\dfrac{8}{x+y+z}\ge2\sqrt{\dfrac{x+y+z}{x+y+z}}+\dfrac{8}{1}=10\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
31 tháng 3 2018
Bài 3:
Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương ta có:
\(\frac{1}{x}+\frac{x}{4}\geq 2\sqrt{\frac{1}{4}}=1\)
\(\frac{1}{y}+\frac{y}{4}\geq 2\sqrt{\frac{1}{4}}=1\)
\(\frac{1}{z}+\frac{z}{4}\geq 2\sqrt{\frac{1}{4}}=1\)
Cộng theo vế các BĐT vừa thu được ta có:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{x+y+z}{4}\geq 3\)
\(\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq 3-\frac{x+y+z}{4}\geq 3-\frac{6}{4}\) (do \(x+y+z\leq 6\) )
\(\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{3}{2}\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=2\)
Bài 4:
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương:
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\geq 3\sqrt[3]{\frac{x}{y}.\frac{y}{z}.\frac{z}{x}}=3\sqrt[3]{1}=3\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z\)
BD
0
NP
0
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
22 tháng 12 2020
\(x+y+z=xyz\Leftrightarrow\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{zx}=1\)
\(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}=\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2-2\left(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{zx}\right)=2^2-2.1=2\) (đpcm)